高等数学——微分方程

概念

• 微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。
• 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。
• 微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解。
• 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。
• 微分方程的特解：微分方程不含有任何常数的解称为特解。
• 初始条件：确定特解的一组常数称为初始条件。
• 积分曲线：微分方程的一个解在平面上对应的一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。

一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式：$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$

• 可分离变量的微分方程：能表示为$g(y)dy=f(x)dx$的微分方程称为可分离变量的微分方程。求解的方法是两端积分$\int g(y)dy=\int f(x)dx$。
• 齐次微分方程：能表示为$\frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x})$的微分方程称为齐次微分方程。求解齐次微分方程的一般方法：令$u=\frac{y}{x}$，则$\frac{dy}{dx}=u+x{u}^{\prime }$，从而将原方程化为$x{u}^{\prime }=\phi (u)-u$，此方程为可分离变量的微分方程。
• 一阶线性微分方程（未知函数$y$和$y^{\prime }$都是一次）：形如$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$的方程称为一般线性方程。求解一般线性方程的一般方法：常数变易法，或直接利用以下通解公式：$y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$。

可降阶的微分方程

• $y^{(n)}=f(x)$型的微分方程，可两边同时积分直至将原方程降为一阶微分方程。
• $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$型的方程。只需令$y^{\prime }=P,y^{\prime \prime }=\frac{dP}{dx}$，可将原方程化为一阶微分方程。
• $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$型的方程。只需令$y^{\prime }=p,y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$，可将原方程化为一阶微分方程。

高阶线性微分方程

线性微分方程解的结构

这里只讨论二阶线性微分方程，其结论可以推广到更高阶的方程，二阶线性微分方程的一般形式为$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$$这里的$p(x),q(x),f(x)$均为连续函数，当齐次方程右端的$f(x)\equiv 0$时，称为二阶线性齐次方程，否则就称为二阶线性非齐次方程。

• 齐次方程：$y^{\prime \prime }=p(x)y^{\prime }+q(x)y=0①$
• 非齐次方程：$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)②$

如果$y_1(x)$和$y_2(x)$是齐次方程①的两个线性无关（线性无关的充要条件是它们之比不为常数）解，那么$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$$就是齐次方程①的通解。如果$y^{\ast }$是非齐次方程②的一个特解，$y_1(x)$和$y_2(x)$是齐次方程①的两个线性无关特解，那么$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+y^{\ast }(x)$$就是非齐次方程②的通解。如果$y_1^{\ast }(x)$和$y_2^{\ast }(x)$是非齐次方程②的两个特解，那么$$y(x)=y_2^{\ast }(x)-y_1^{\ast }(x)$$是齐次方程①的解。如果$y_1^{\ast }(x)$和$y_2^{\ast }(x)$分别是方程$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)$$和$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_2(x)$$的特解，则$y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$是方程$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$$的一个特解。

常系数齐次线性微分方程

二阶带常系数线性齐次微分方程的一般形式为$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0③$$其特征方程为$r^2+pr+1=0$，设$r_1,r_2$为该方程的两个根：

• 若$r_1\ne r_2$为两个不相等的实特征根，则方程③的通解为$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$$
• 若$r_1=r_2$为二重实特征根，则方程③的通解为$$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}$$
• 若$r_1=a+i\beta ,r_2=a-i\beta$为一对共轭复根，则方程③的通解为$$y=e^{ax}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)$$

常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次微分方程的一般形式为$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }=qy=f(x)④$$

• 若$f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$，其中$P_m(x)$为$x$的$m$次多项式，则方程④的特解可设为$$y^{\ast }=x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x}$$其中$Q_m(x)$是与$P_m(x)$同次的多项式，$k$是特征方程含根$\lambda$的重复次数。
• 若$f(x)=e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)cos\beta x+P_n^{(2)}(x)sin\beta x]$，其中$P_l^{(1)},P_n^{(2)}$分别是$x$的$l$次和$n$次多项式，则方程④的特解可设为：$$y^{\ast }=x^k{e}^{ax}[R_m^{(1)}(x)cos\beta x+R_m^{(2)}(x)sin\beta x]$$其中$R_m^{(1)}(x)$和$R_m^{(2)}(x)$是两个$m$次多项式，$m=max(l,m)$。
  • 当$\alpha +i\beta$不是方程③的特征根时，取$k=0$。
  • 当$\alpha +i\beta$是方程③的特征根时，取$k=1$。