Educational Codeforces Round 127 D. Insert a Progression

Insert a Progression

time limit per test: 2 second memory limit per test: 256 megabytes input: standard input output: standard output

You are given a sequence of $n$ integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$. You are also given $x$ integers $1,2,\dots ,x$.

You are asked to insert each of the extra integers into the sequence $a$. Each integer can be inserted at the beginning of the sequence, at the end of the sequence, or between any elements of the sequence.

The score of the resulting sequence $a^{\prime }$ is the sum of absolute differences of adjacent elements in it $\left(\sum _{i=1}^{n+x-1}|a_i^{\prime }-a_{i+1}^{\prime }|\right)$.

What is the smallest possible score of the resulting sequence $a^{\prime }$?

Input

The first line contains a single integer $t$ ($1\le t\le 10^4$) — the number of testcases.

The first line of each testcase contains two integers $n$ and $x$ ($1\le n,x\le 2\cdot 10^5$) — the length of the sequence and the number of extra integers.

The second line of each testcase contains $n$ integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ($1\le a_i\le 2\cdot 10^5$).

The sum of $n$ over all testcases doesn’t exceed $2\cdot 10^5$.

Output

For each testcase, print a single integer — the smallest sum of absolute differences of adjacent elements of the sequence after you insert the extra integers into it.

Example

$\mathtt{input}$
4 1 5 10 3 8 7 2 10 10 2 6 1 5 7 3 3 9 10 10 1 4 10 1 3 1 2
$\mathtt{output}$
9 15 31 13

Tutorial

由题意易得，对于数组 $a$ 中已有的数不能改变，此时差值为 ${\sum }_{i=1}^{|a|}abs(a_i-a_{i-1})$，其中 $|a|$ 表示数组 $a$ 的长度

在任意两个数 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 之间，满足 $a_i\le x\le a_{i+1}$ 条件的 $x$ 对答案都不会产生影响，因此插入满足 $\min (a)\le x\le \max (a)$ 条件的 $x$ 均不会对答案产生影响，我们只需要考虑小于 $\min (a)$ 的数和大于 $\max (a)$ 的数对答案会产生什么影响即可

对于小于 $\min (a)$ 的数：

• 如果将 $1,2,\dots ,\min (a)-1$ 正序插入到整个数列 $a$ 的最前方，产生的影响为 $abs(a_0-1)$​
• 如果将 $\min (a)-1,\min (a)-2,\dots ,2,1$ 倒序插入到整个数列 $a$ 的最后方，产生的影响为 $abs(a_{|a|}-1)$，其中 $|a|$ 表示数组 $a$ 的长度
• 如果将 $1,2,\dots ,\min (a)-1$ 按序插入到数组 $a$ 中间，产生的影响为 $(\min (a)-1)\times 2$​

对于大于 $\max (a)$​ 的数：

• 如果将 $x-1,x-2,\dots ,\max (a)+1$ 倒序插入到整个数列 $a$ 的最前方，产生的影响为 $abs(x-a_0)$
• 如果将 $\max (a)+1,\max (a)+2,\dots ,x$ 正序插入到整个数列 $a$ 的最后方，产生的影响为 $abs(x-a_{|a|})$，其中 $|a|$ 表示数组 $a$ 的长度
• 如果将 $1,2,\dots ,\min (a)-1$ 按序插入到数组 $a$ 中间，产生的影响为 $(x-\max (a))\times 2$，当然，如果 $\max (a)>x$，此时影响为 0

综上所述，对于每一个数组 $a$ 和 $x$，答案为

$\{\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^{|a|}abs(a_i-a_{i-1})\\ \min (abs(x-a_0),abs(x-a_{|a|}),\max (0,(x-\max (a))\times 2))\\ \min (abs(a_0-1),abs(a_{|a|}-1),(\min (a)-1)\times 2)\end{array}$

的和

此解法时间复杂度为 $\mathcal{O}(n)$，即求 ${\sum }_{i=1}^{|a|}abs(a_i-a_{i-1})$ 时的时间复杂度

Solution

import sys
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()output = []for _ in range(int(input())):n, x = map(int, input().split())a = list(map(int, input().split()))ans = sum(abs(a[i] - a[i + 1]) for i in range(n - 1))mx, mn = max(a), min(a)up = min(abs(x - a[0]), abs(x - a[-1]), (0 if mx > x else (x - mx) * 2))down = min(abs(a[0] - 1), abs(a[-1] - 1), (mn - 1) * 2)output.append(ans + up + down)print('\n'.join(map(str, output)))