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【图像处理与机器视觉】频率域滤波

知识铺垫

复数

C=R+jI 可以看作复平面上的点,则该复数的坐标为(R,I)

欧拉公式

e j θ = c o s θ + j s i n θ e^{j\theta} = cos \theta + j sin \theta ejθ=cosθ+jsinθ
极坐标系中复数可以表示为: C = ∣ C ∣ ( c o s θ + j s i n θ ) C = |C|(cos\theta + j sin \theta) C=C(cosθ+jsinθ)
所以,由于欧拉公式可以将复数表示为: C = ∣ C ∣ e j θ C=|C|e^{j\theta} C=Cejθ

傅立叶级数

傅立叶指出,任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数之和,每个正弦项和余弦项均乘以不同的系数
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同时,根据我们前面掌握的欧拉公式,可以对傅里叶级数的公式进行转换得到:
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ⋅ e j 2 π n T t f(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n\cdot e^{j\frac{2\pi n}{T}t} f(t)=n=cnejT2πnt

傅立叶变换

这里我们不对傅立叶变换的一系列公式推导进行阐述,只对最后我们所使用的离散傅立叶变换进行研究:
对于一个离散序列,我们可以进行傅立叶变换,被称为离散傅立叶变换(DFT):
F ( u ) = ∑ x = 0 M − 1 f ( x ) e − j 2 π u x / M F(u)=\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M} F(u)=x=0M1f(x)ej2πux/M
则其对应的离散傅立叶反变换为:
F ( u ) = 1 M ∑ x = 0 M − 1 f ( x ) e j 2 π u x / M F(u)=\frac{1}{M}\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(x)e^{j2\pi ux/M} F(u)=M1x=0M1f(x)ej2πux/M
同理,可以有二维的傅立叶变换 和傅立叶反变换:
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(1)傅立叶变换满足平移性质
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(2)尺度变换
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(3)旋转性
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(4)周期性:傅立叶变换具有周期性
(5)平均值:
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(5)卷积:一个域的卷积是另一个域的乘积
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傅立叶变换在图像处理中的实操

请见我另外一篇博客:待补充

频率域滤波

频率域与空间域的对应关系

由我们刚刚知道的平均值,可以知道在空间域中灰度变化缓慢(二阶导小)的频率分量在频率域接近中心的位置;离原点越远,越来越高的频率对应的就是图像中变化较快的灰度(二阶导大),通常对应了图像中的边和细节
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因此只允许中间变量通过的滤波器叫做低通滤波器,而允许四周频率通过的滤波器叫做高通滤波器,频率与滤波就是变换一张图的傅立叶变换(通常方式为频率域内乘上不同的滤波器,也即在空间域中进行卷积),再计算其反傅立叶变换得到修改后的空间域的照片

低通滤波器

理想低通滤波器

只通过固定范围内的低频,其他全部不通过
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可以对图像进行平滑,但是会存在振铃的现象,原本图像中的边缘出现一圈一圈的虚影,就像水纹一样,主要原因是高频与低频被生硬的切割开了,就如同灰度级较少时生硬的切割会形成伪轮廓一样
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布特沃斯低通滤波器

通过缓和的高频和低频的过渡有效去除了振铃现象
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高斯低通滤波器

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高通滤波器

同理也有理想高通滤波器,布特沃斯高通滤波器和高斯高通滤波器
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