【图像处理与机器视觉】频率域滤波

知识铺垫

复数

C=R+jI 可以看作复平面上的点，则该复数的坐标为（R，I）

欧拉公式

$e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$
极坐标系中复数可以表示为：$C=|C|(cos\theta +jsin\theta )$
所以，由于欧拉公式可以将复数表示为：$C=|C|e^{j\theta }$

傅立叶级数

傅立叶指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数之和，每个正弦项和余弦项均乘以不同的系数

同时，根据我们前面掌握的欧拉公式，可以对傅里叶级数的公式进行转换得到：
$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\cdot e^{j\frac{2\pi n}{T}t}$

傅立叶变换

这里我们不对傅立叶变换的一系列公式推导进行阐述，只对最后我们所使用的离散傅立叶变换进行研究：
对于一个离散序列，我们可以进行傅立叶变换，被称为离散傅立叶变换（DFT）：
$F(u)=\sum _{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M}$
则其对应的离散傅立叶反变换为：
$F(u)=\frac{1}{M}\sum _{x=0}^{M-1}f(x)e^{j2\pi ux/M}$
同理，可以有二维的傅立叶变换 和傅立叶反变换：

（1）傅立叶变换满足平移性质

（2）尺度变换

（3）旋转性

（4）周期性：傅立叶变换具有周期性
（5）平均值：

（5）卷积：一个域的卷积是另一个域的乘积

傅立叶变换在图像处理中的实操

请见我另外一篇博客：待补充

频率域滤波

频率域与空间域的对应关系

由我们刚刚知道的平均值，可以知道在空间域中灰度变化缓慢（二阶导小）的频率分量在频率域接近中心的位置；离原点越远，越来越高的频率对应的就是图像中变化较快的灰度（二阶导大），通常对应了图像中的边和细节

因此只允许中间变量通过的滤波器叫做低通滤波器，而允许四周频率通过的滤波器叫做高通滤波器，频率与滤波就是变换一张图的傅立叶变换（通常方式为频率域内乘上不同的滤波器，也即在空间域中进行卷积），再计算其反傅立叶变换得到修改后的空间域的照片

低通滤波器

理想低通滤波器

只通过固定范围内的低频，其他全部不通过

可以对图像进行平滑，但是会存在振铃的现象，原本图像中的边缘出现一圈一圈的虚影，就像水纹一样，主要原因是高频与低频被生硬的切割开了，就如同灰度级较少时生硬的切割会形成伪轮廓一样

布特沃斯低通滤波器

通过缓和的高频和低频的过渡有效去除了振铃现象

高斯低通滤波器

高通滤波器

同理也有理想高通滤波器，布特沃斯高通滤波器和高斯高通滤波器