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【图像处理与机器视觉】频率域滤波

news 2026/2/10 15:40:23

知识铺垫

复数

C=R+jI 可以看作复平面上的点，则该复数的坐标为（R，I）

欧拉公式

$e^{j\theta} = cos \theta + j sin \theta$
极坐标系中复数可以表示为： $|C|(cos\theta + j sin \theta)$
所以，由于欧拉公式可以将复数表示为： $C=|C|e^{j\theta}$

傅立叶级数

傅立叶指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数之和，每个正弦项和余弦项均乘以不同的系数
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同时，根据我们前面掌握的欧拉公式，可以对傅里叶级数的公式进行转换得到：
$f(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n\cdot e^{j\frac{2\pi n}{T}t}$

傅立叶变换

这里我们不对傅立叶变换的一系列公式推导进行阐述，只对最后我们所使用的离散傅立叶变换进行研究：
对于一个离散序列，我们可以进行傅立叶变换，被称为离散傅立叶变换（DFT）：
$F(u)=\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M}$
则其对应的离散傅立叶反变换为：
$F(u)=\frac{1}{M}\sum\limits_{x=0}^{M-1}f(x)e^{j2\pi ux/M}$
同理，可以有二维的傅立叶变换和傅立叶反变换：
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（1）傅立叶变换满足平移性质
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（2）尺度变换
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（3）旋转性
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（4）周期性：傅立叶变换具有周期性
（5）平均值：
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（5）卷积：一个域的卷积是另一个域的乘积
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傅立叶变换在图像处理中的实操

请见我另外一篇博客：待补充

频率域滤波

频率域与空间域的对应关系

由我们刚刚知道的平均值，可以知道在空间域中灰度变化缓慢（二阶导小）的频率分量在频率域接近中心的位置；离原点越远，越来越高的频率对应的就是图像中变化较快的灰度（二阶导大），通常对应了图像中的边和细节
在这里插入图片描述
因此只允许中间变量通过的滤波器叫做低通滤波器，而允许四周频率通过的滤波器叫做高通滤波器，频率与滤波就是变换一张图的傅立叶变换（通常方式为频率域内乘上不同的滤波器，也即在空间域中进行卷积），再计算其反傅立叶变换得到修改后的空间域的照片