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现代密码学-国密算法

news 2026/5/16 1:08:59

商用密码算法种类

商用密码算法

密码学概念、协议与算法之间的依赖关系

数字签名、证书-公钥密码、散列类算法

消息验证码-对称密码，散列类

安全目标与算法之间的关系

机密性--对称密码、公钥密码

完整性--散列类算法

可用性--散列类、公钥密码

真实性--公钥密码

不可否认--公钥密码

SM2椭圆曲线公钥加密

公钥密码体制

公钥体制加密

接收者B产生一对密钥:私钥-- $SK_{_{B}}$ ,公钥-- $PK_{_{B}}$
A想向B发消息m,则使用B的公钥加密m,表示为 $c=\varepsilon _{PK_{B}}[m]$ , c是加密后的密文， $\varepsilon$ 是加密算法
B收到密文c后，用自己的私钥 $SK_{_{B}}$ 解密，表示为 $m=D_{SK_{B}}[c]$ ,D是解密算法

只能由B进行解密

公钥体制认证

用户A用自己的私钥对m进行加密, $c=\varepsilon _{SK_{A}}[m]$ ,将c发给B,B用A的公钥解密 $m=D_{PK_{A}}[c]$

从m得到c的过程是经过A的私钥加密的，只能A才能做到，因此c可以当作A对m的数字签名。

双重加密、解密

为了同时具有保密功能和认证功能，可以使用双重加、解密

发送方先用自己的私钥对消息加密，用于提供数字签名。再用接收方的公钥加密，表示为

$c=\varepsilon _{PK_{B}}[\varepsilon _{SK_{A}}[m]]$

接收者收到后，x先用自己的私钥，再用发送方的公钥进行两次解密，解密过程为

$m=D_{PK_{A}}[D_{SK_{B}}[c]]$

椭圆曲线密码体制

椭圆曲线密码 Elliptic CurveCryptography ECC:利用椭圆曲线实现密码技术

椭圆曲线上的离散对数问题

本质：已知xG求数x的问题

椭圆曲线密码中，先确定一条椭圆曲线，然后对椭圆曲线上的某一些点之间的“运算”进行定义，利用这些“运算”来进行密码技术相关的计算。

已知

椭圆曲线E

椭圆曲线E上的一点G(基点)

椭圆曲线上的一点xG(G的x倍)

求解

数x

椭圆曲线Diffie-Hellman密钥交换

AB需要共享一个对称密码的密钥，用椭圆曲线Diffie-Hellman密钥交换，生成共享密钥

A向B发送点G。G被窃听无影响
A生成随机数a,将a作为A的私钥
B生成随机数b,将b最为B的私钥
A向B发送点aG
B向A发送bG
A对收到的bG计算其在椭圆曲线上a倍的点，a(bG)=abG==共享密钥
B对收到的aG计算其在椭圆曲线上b倍的点,b(aG)=baG=abG==共享密钥

每次通信使用不同的随机数，共享密钥也会随之改变==保证了前向安全性forward secrecy

SM2

SM2是国家密码管理局颁布的中国商用公钥密码标准算法，是一组椭圆曲线密码算法，包含加解密算法、数字签名算法。

SM2与国际ECC比较

ECC算法采用国际机构建议的曲线和参数，SM2算法的参数需要利用一定的算法产生，算法中加入了用户特异性的曲线参数、基点、用户的公钥点信息，安全性更高

ECC中，用户可以选择MD5或SHA-1等国际通用的哈希算法，SM2使用SM3哈希算法，SM3哈希算法输出为256比特，与SHA-256算法安全性相当

SM2椭圆曲线公钥密码加密算法

基本参数

基于素数域 $F_{p}$ 的SM2算法参数如下：

$F_{p}$ 的特征p为m比特长的素数，p要尽可能大；

长度不小于192比特的比特串SEED;

$F_{p}$ 上的2个元素a,b，满足 $4{a^{3}}+27{b^2}\neq 0$ ,定义曲线 $E(F_{p}):y^2=x^2+ax+b$

基点 $G=(x_G,y_G)\in E(F_p),G\neq 0$ ;

G的阶n为m比特长的素数，满足 $n> 2^191 and n> 4\sqrt{p}$ ;

$h=\frac{\left | E(F_p) \right |}{n}$ 余因子，其中 $|E(F_p)|$ 是曲线 $E(F_p)$ 的点数。

SEED,a,b产生的算法：

任意选取长度不小于192比特的比特串SEED;
计算 $H=H_{256}(SEED)$ ,记 $H=(h_{255},h_{254},...,h_0)$ ,其中 $H_{256}$ 表示256比特输出的SM3哈希算法
取 $R=\sum_{255}^{0}h_i2^i$ ;
取 $r=R mod p$ ；
在 $F_{p}$ 上任意选择2个元素a,b，满足 $rb^2=a^3 mod p$ ;
若 $4{a^{3}}+27{b^2}= 0 mod p$ ,则返回1；
所选择的 $F_{p}$ 上的曲线是 $E(F_{p}):y^2=x^2+ax+b$
输出（SEED,a,b）

密钥产生

假设接收方为B,B的秘密钥取{1，2，...,n-1}中的一个随机数 $d_B$ ,记为 $d_B\leftarrow\left \{ 1,2,...,n-1 \right \}_R$ ,其中G的阶n

B的公开钥取为椭圆曲线上的点: $P_B=d_BG$ ,其中， $G=G(x,y)$ 是基点

加密算法

假设发送方是A,A要发送的消息表示为M比特串，M的长度为klen.算法如下：

选择随机数 $k\leftarrow\left \{ 1,2,...,n-1 \right \}_R$
计算椭圆曲线点 $C_1=kG=(x_1,y_1))$ ，将x1,y1表示为比特串；
计算椭圆曲线点 $S=HP_B$ ,若S为无穷远点，则报错退出；
计算椭圆曲线 $kP_B=(x_2,y_2)$ ，将x2,y2表示为比特串；
计算 $t=KDF(x_2 || y_2,klen)$ ,若t为全0的比特串，则返回1；
计算 $C_2=M\oplus t$ ----(mod 2 加法）
计算 $C_3=Hash(x_2 || M || y_2)$
输出密文C=(C1,C2,C3)

KDF（*）是密钥派生函数，本质为一个伪随机数产生函数，用来产生密钥，这里KDF为SM3,第(3)步的H也是SM3

解密算法

B收到密文C后，进行解密，过程如下：

从C中取出C1,将C1表示为椭圆曲线上的点，验证C1是否满足椭圆曲线方程。不满足就报错退出；
计算椭圆曲线点 $S=HC1$ ，若S为无穷远点，则报错退出；
计算 $d_BC_1=(x_2,y_2)$ ,将x2,y2表示为比特串;
计算 $t=KDF(x_2 || y_2,klen)$ ,若t为全0的比特串，则报错退出；
从C中取出C2,计算 ${M}'=C_2\oplus t$ ;
计算 $u=Hash(x_2 || {M}' || y_2)$ ,从C中取出C3,若 $u \neq C_3$ 则报错退出；
输出明文 ${M}'$

SM2椭圆曲线公钥密码签名算法

基本参数

与前面加密算法的参数设置相同

密钥产生

与与前面加密算法产生方法一样，记为 $d_A,P_A=(x_A,y_A)$

设 $ID_A$ 是A的长度为 $entlen_A$ 比特的标识， $ENTL_A$ 由 $entlen_A$ 转换而成的两个字节，A计算 $Z_A=H_{256}(ENTL_A || ID_A || a||b||x_G||y_G||x_A||y_A)$ ，其中a,b是椭圆曲线方程的参数， $x_G,y_G$ 是基点G的坐标， $x_A,y_A$ 是 $P_A$ 的坐标。将这些值转换为比特串后，在进行 $H_{256}$ 。验证方B验证签名时，也需要计算 $Z_A$