排序题目：有序数组的平方

题目

标题和出处

标题：有序数组的平方

出处：977. 有序数组的平方

难度

2 级

题目描述

要求

给定按非递减顺序排序的整数数组 $\text{nums}$，返回每个数字的平方组成的新数组，要求也按非递减顺序排序。

示例

示例 1：

输入：$\text{nums = [-4,-1,0,3,10]}$
输出：$\text{[0,1,9,16,100]}$
解释：平方后，数组变为 $\text{[16,1,0,9,100]}$。排序后，数组变为 $\text{[0,1,9,16,100]}$。

示例 2：

输入：$\text{nums = [-7,-3,2,3,11]}$
输出：$\text{[4,9,9,49,121]}$

数据范围

• $\text{1}\le \text{nums.length}\le {\text{10}}^{\text{4}}$
• ${\text{-10}}^{\text{4}}\le \text{nums[i]}\le {\text{10}}^{\text{4}}$
• $\text{nums}$ 已按非递减顺序排序

进阶

计算每个元素的平方并对新数组排序的解法很简单，你可以使用不同的方法找到时间复杂度 $\text{O(n)}$ 的解法吗？

解法一

思路和算法

最直观的解法是依次计算数组 $\text{nums}$ 中的每个元素的平方并存入新数组中，然后对新数组按非递减顺序排序，即可得到排序后的新数组。

代码

class Solution {public int[] sortedSquares(int[] nums) {int length = nums.length;int[] squares = new int[length];for (int i = 0; i < length; i++) {squares[i] = nums[i] * nums[i];}Arrays.sort(squares);return squares;}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n\log n)$，其中 $n$ 是数组 $\text{nums}$ 的长度。计算数组 $\text{nums}$ 中的每个元素的平方并存入新数组需要 $O(n)$ 的时间，对新数组排序需要 $O(n\log n)$ 的时间，因此时间复杂度是 $O(n\log n)$。

• 空间复杂度：$O(\log n)$，其中 $n$ 是数组 $\text{nums}$ 的长度。对新数组排序需要 $O(\log n)$ 的递归调用栈空间。注意返回值不计入空间复杂度。

解法二

思路和算法

解法一没有利用到数组 $\text{nums}$ 已经按非递减顺序排序的条件，因此需要对新数组排序，时间复杂度是 $O(n\log n)$。如果利用数组 $\text{nums}$ 已经按非递减顺序排序的条件，则不需要对新数组排序，将时间复杂度降低到 $O(n)$。

由于一个数的平方大小与这个数的绝对值有关，因此考虑数组 $\text{nums}$ 中的绝对值最大元素与绝对值最小元素可能出现的位置。

数组 $\text{nums}$ 按非递减顺序排序，可能有以下三种情况：

• 数组 $\text{nums}$ 的所有元素都是非负数，元素顺序为绝对值非递减顺序，首个元素的绝对值最小，末尾元素的绝对值最大；

• 数组 $\text{nums}$ 的所有元素都是非正数，元素顺序为绝对值非递增顺序，首个元素的绝对值最大，末尾元素的绝对值最小；

• 数组 $\text{nums}$ 中既有正数也有负数，首个元素或末尾元素的绝对值最大。

对于上述三种情况中的任意一种情况，绝对值最大的元素一定是数组 $\text{nums}$ 的首个元素或末尾元素。因此可以从数组 $\text{nums}$ 的两端向中间遍历，按照绝对值从大到小的顺序依次遍历数组 $\text{nums}$ 的元素，计算每个元素的平方，反向填入新数组。

具体做法是，维护两个下标 ${\text{index}}_1$ 和 ${\text{index}}_2$，初始时 ${\text{index}}_1$ 指向数组 $\text{nums}$ 的首个元素，${\text{index}}_2$ 指向数组 $\text{nums}$ 的末尾元素。遍历过程中，比较 $\text{nums}[{\text{index}}_1]$ 和 $\text{nums}[{\text{index}}_2]$ 这两个元素的绝对值：

• 如果 $\text{nums}[{\text{index}}_1]$ 的绝对值大于 $\text{nums}[{\text{index}}_2]$ 的绝对值，则将 $\text{nums}[{\text{index}}_1]$ 的平方填入新数组，将 ${\text{index}}_1$ 加 $1$；

• 如果 $\text{nums}[{\text{index}}_1]$ 的绝对值小于等于 $\text{nums}[{\text{index}}_2]$ 的绝对值，则将 $\text{nums}[{\text{index}}_2]$ 的平方填入新数组，将 ${\text{index}}_2$ 减 $1$。

由于遍历数组 $\text{nums}$ 的过程中，每次遍历的元素都是尚未遍历的元素中的绝对值最大的元素，因此遍历元素的顺序是绝对值非递增顺序，即元素的平方非递增顺序。将遍历的元素的平方反向填入新数组，新数组中的元素顺序为非递减顺序。

代码

class Solution {public int[] sortedSquares(int[] nums) {int length = nums.length;int[] squares = new int[length];int index1 = 0, index2 = length - 1;for (int i = length - 1; i >= 0; i--) {if (Math.abs(nums[index1]) > Math.abs(nums[index2])) {squares[i] = nums[index1] * nums[index1];index1++;} else {squares[i] = nums[index2] * nums[index2];index2--;}}return squares;}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 $\text{nums}$ 的长度。需要遍历数组 $\text{nums}$ 中的每个元素一次。

• 空间复杂度：$O(1)$。注意返回值不计入空间复杂度。