【抽代复习笔记】20-群（十四）：定理6的补充证明及三道循环置换例题

例1：找出S3中所有不能和(123)交换的元。

解：因为 (123)(1) = (1)(123) = (123)，(123)(132) = (132)(123) = (1)，所以(1)、(132)和(123)均可以交换；

而(12)(123) = (23)，(123)(12) = (13)，故 (12)(123) ≠ (123)(12)，因此(12)和(123)不可交换；

同理，(13),(23)也与(123)不可交换。

因此，S3中所有不能和(123)交换的元有(12),(13),(23)。

 

定理9：Sn中每一个元都可以写为(12),(13),...,(1n)这n-1个2-循环置换中若干个的乘积。

 

【证明补充：定理6(见上一篇文章)：两个不相交的循环置换的乘积可交换。】

证：设A = {1,2,...,n}，Sn是n次对称群。

σ = (r1r2...rn)，r = (t1t2...tl)是Sn中不相交的循环置换，即：

{r1,r2,...,rk} ∩ {t1,t2,...,tl} = ∅，将σ和r视为映射，证σr = rσ——

对任意i∈A，

①若i∈{r1,r2,...,rk}，则i∉{t1,t2,...,tl}，

σ(i) = rm，则rm∉{t1,t2,...,tl}，从而：

(σ o r)(i) = σ(r(i)) = σ(i) = rm，(r o σ)(i) = r(σ(i)) = r(rm) = rm，

因此 (σ o r)(i) = (r o σ)(i) = rm，即σr = rσ；

②若i∈{t1,t2,...,tl}，即i∉{r1,r2,...,rk}，

令 r(i) = tn∉{r1,r2,...,rk}，从而：

(σ o r)(i) = σ(r(i)) = σ(tn) = tn，(r o σ)(i) = r(σ(i)) = r(i) = tn，

因此(σ o r)(i) = (r o σ)(i) = tn，即σr = rσ；

③若i∉{t1,t2,...,tl,r1,r2,...,rk}，则σ(i) = i = r(i)，从而：

(σ o r)(i) = σ(r(i)) = σ(i) = i，(r o σ)(i) = r(σ(i)) = r(i) = i，

因此(σ o r)(i) = (r o σ)(i) = i，即σr = rσ。

综上所述，不管是哪种情况，都有σr = rσ，由此得证两个不相交的循环置换的乘积可交换。

 

例2：证明，一个k-循环置换的阶为k。

证：设σ = (i1i2...ik)是Sn上的一个k-循环，因为：

σ(i1) = i2，σ(i2) = σ(σ(i1)) = σ(i1)^2 = i3，σ(i3) = σ(σ(i2)) = σ(i1)^3 = i4，……，σ(i1)^(k-1) = ik，σ(i1)^k = σ(ik) = i1，

因此σ(i1)^k = i1，但σ(i1)^l ≠ i1(0＜l＜k)，

类似地，对于任意j∈{2,3,k-1,k}，都有σ(ij)^k = ij，且σ(ij)^l ≠ ij(l＜k)，

由此得σ^k = (1)，也就是|σ| = k。

 

例3：证明，Sn中每一个元都可写为(12),(13),……,(1n)中若干个的乘积。

证：设σ是Sn中任一k-循环，

（1）若1在σ中出现，则：

σ = (1 i1 i2 …… ik-1) = (1 ik-1)(1 ik-2)……(1 i1)；

（2）若1没在σ中出现，则：

σ = (i1 i2 …… ik) = (1 i1)(1 i1 i2 …… ik) = (1 i1)(1 ik)(1 ik-1)……(1 i1)

综上，Sn中每一个元都可写为(12),(13),……,(1n)中若干个的乘积，命题得证。

 

（待续……）