重温线性代数

前言

对于普通的数学工作者而言，掌握矩阵、线性空间的基本性质和用法比领会抽象的概念更实用。数学专业的同学需要全面深入学习近世代数的理论和演绎法则，例如模的概念和运算。
总之，我个人认为，不论是微积分、还是线性代数，或者是统计学，多从有形的例子着手，学习最核心最实用的部分，辅以一定数量的习题练习，是一种有效的学习方法。

向量空间->线性变换->线性变换的表示：矩阵

线性代数的核心思想

任何一个n维空间中的元素，都可以通过一个向量$(x_1,x_2,...,x_n)$来定位，或者说n维空间中每个点，都有一个坐标。有的书上也把这种n维空间叫向量空间。

矩阵是什么？以下几种理解都是正确的：

• 一个矩阵可以表示从n维空间到m维空间的线性变换，或者叫映射
• 一个矩阵对应了一个运动
• 一个矩阵对应了一个坐标系。因为运动既可以看成是点的运动，也可以看成是坐标系的运动。如果选取了某个坐标系作为标准坐标系（或者叫参照坐标系），那其它坐标系的基就可以表示成这个参照系的线性组合，也就是每个基对应一个向量，那所有基的坐标就构成了一个矩阵。

所以，一个矩阵乘以一个向量: $A\ast x$ 就是把一个向量映射到一个新的向量。这个矩阵的每一行对应的是新的坐标系的基的坐标。为什么矩阵乘法定义为向量内积的方式？因为内积代表着新的向量在旧的向量上的投影。

这里需要举个例子才能说得更明白。

基本概念

特征值，特征向量，行列式，trace。

矩阵的乘法

基本性质

• 行列式为0 = 不满秩 = 不可逆
• 行列式等于特征值的乘积
• 二维矩阵的行列式等于平行四边形的面积，三维矩阵的行列式对应的是平行六面体的体积…更高维度上也可以延伸出同样的类似于“体积”的定义。
• 对称矩阵的特征向量相互之间正交
• 矩阵的迹(trace)等于特征值之和

矩阵的相似

TODO

矩阵的分解和分块计算

A 有n 个相异的特征值, 则A 可对角化

书籍推荐

• 线性代数方法导引-屠伯埙
• 高等代数-屠伯埙： 我本科时的线性代数教材，屠伯埙亲自指导上课。