一文弄懂线性回归模型

1、引言

今天，我们将深入探讨机器学习中的三个关键概念：线性回归、代价函数和梯度下降。这些概念构成了许多机器学习算法的基础。起初，我决定不写一篇关于这些主题的文章，因为它们已经被广泛涉及。不过，我改变了主意，因为理解这些概念对于理解神经网络等更高级的主题至关重要。

闲话少说，我们直接开始吧！

2、问题引入

与任何机器学习问题一样，我们首先要回答一个具体的问题。在本例中，我们的朋友马克正在考虑出售他 2400 平方英尺的房子，并向我们寻求帮助，以确定最合适的挂牌价格。

凭直觉，我们首先要查找朋友所在社区的同类房屋。经过一番挖掘，我们找到了附近三栋房子的清单，并查看了它们的售价。当然，一个典型的数据集会有数千甚至数万个数据点，但我们只用这三栋房子就够了。

接着，让我们来绘制这些数据：

通过观察数据，房屋价格似乎与房屋面积呈线性关系。为了模拟这种关系，我们可以使用一种称为线性回归的机器学习技术。这需要在散点图上画出一条最能代表数据点模式的线。我们的模型可能是这样的：

根据这条线，2400 平方英尺的房子应该卖多少钱？

大概$260,000。这就是答案。

现在最大的问题是：我们如何确定数据的最佳拟合线？

3、 确认最佳拟合方程

经过上述分析，我们的问题转化为如何确定数据的最佳拟合线？我画的线可能有点偏，就像这样：

我们可以清楚地知道，这种情况下对数据的拟合程度远不如第一种情形。要找出最佳的拟合线，我们首先要做的就是用数学方法来衡量一条糟糕的线。

让我们来看看这条 "相对糟糕 "的拟合线，根据这条线，一栋 2000 平方英尺的房子应该卖 14 万美元，而我们知道它实际上卖了 30 万美元：

线上其他数值也有明显差异：

平均而言，这条线的上预测差额约为 94,000 美元（50,000 美元 + 160,000 美元 + 72,000 美元/3）。

事实上，我们有预测差额更小的预测线，如下：

这条线路的平均预测差额约为 44 000 美元，这要好得多。这 4.4 万美元被称为使用这条线的cost。cost就是用来衡量这条线与真实数据的偏差程度。与真实数据偏差最小或cost最低的预测线就是最佳选择。要找出哪条线是最佳线，我们需要使用损失cost函数。

4、损失函数

以上章节我们利用平均绝对误差 (MAE) 代价函数来确定实际房价与预测房价的偏差。这基本上是计算实际房价（用 y 表示，因为它代表 y 轴上的值）与预测房价（用 ŷ 表示）偏离程度的平均值。我们可以这样用以下数学公式来计算 MAE：

注：在计算 MAE 时使用绝对值，因为绝对值可确保预测值与实际值之间的差值始终为正值，无论预测值是高还是低。这样就可以公平地比较不同预测值之间的误差，因为如果不采用绝对值，正负差值就会抵消。

根据不同机器学习算法，我们可以采用不同类型的成本代价函数，也叫损失函数。对于我们的问题，我们将不使用 MAE，而是采用一种更加常用的方法，即平均平方误差 (MSE)，它计算的是预测房价与实际房价之差的平方平均数。

归根结底，任何代价函数的目的都是使其取值最小化，并尽可能降低损失。

5、 直线方程

在深入研究损失函数之前，让我们先回顾一下基础知识。下面是一条直线的示例：
y = 1 + 2x，第一项数字称为截距，它告诉我们起始线应该有多高。

第二项告诉我们直线的角度（或专业术语，斜率）：

既然我们已经理解了直线方程的工作原理，那么我们只需要确定这两个值的最佳值–斜率和截距，就可以得到线性回归问题的最佳拟合线。为了让事情变得更简单，让我们假设我们已经神奇地得到了斜率值 0.069。因此，我们的线性回归线方程如下：

要获得某一面积房屋的预测价格，我们只需输入截距值和所需房屋面积。例如，如果房屋面积为 1000 平方英尺，截距为 0时，如下：

得出预测房价为 69,000 美元。因此，我们现在要做的就是找到截距的最佳值，从而得到线性回归模型。

6、求解截距

如何来求解截距呢？有一种方法（我们很快就会发现这种方法非常乏味，而且并不有趣）是"暴力枚举"，即反复猜测截距值，画一条 LR 线，然后计算 MSE。为了实验起见，让我们尝试一下这种方法。
首先随机猜测一个截距值（从 0 开始），然后绘制直线：

然后我们计算这条线的 MSE：

为了获得直观的理解，让我们在图表上绘制截距值和相应的 MSE：

接下来，我们将测试另一个截距值（比如 25），绘制相应的直线，并计算 MSE。

我们可以用不同的截距值（0、25、50、75、100、125、150 和 175）继续这一过程，直到最后得到如下图形：

从图中绘制的点可以看出，当截距设置为 100 时，MSE 最低。不过，在 75 和 100 之间可能还有另一个截距值，会导致更低的 MSE。寻找最小 MSE 的一种缓慢而痛苦的方法是，如下图所示，为截距设置更多的值：

尽管我们做出了努力，但仍无法确定我们已经找到了最低的 MSE 值。测试多个截距值的过程既繁琐又低效。幸运的是，梯度下降可以帮助我们解决这个问题，以更高效的方式找到最优解。这正是我们将在本系列第二部分中探讨的问题！