「期末复习」线性代数

第一章 行列式

行列式是一个数，是一个结果

三阶行列式的计算：主对角线的乘积

全排列与对换

逆序数为奇就为奇排列，逆序数为偶就为偶排列

对换：

定理一：一个排列的任意两个元素对换，排列改变奇偶性（和行列式的行（列）交换，符号要变化）

行列式的定义：

上下三角行列式和对角行列式：它的值就是主对角线的乘积

行列式的性质：

性质1:行列数与它的转置行列式相等（行和列交换）

A^T=A

性质2:对换行列式的两行（列），行列式变号

推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于0

性质3:行列式的某一行（列）中所有元素都同乘一数k，等于用数k乘此行列式。

推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

性质4:行列式中如果有两行（列）元素成比例，则行列式等于0

性质5:如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：

性质6:把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变

行列式按行（列）展开

余子式：针对某一个元素，才说余子式

代数余子式：比余子式多乘了一个(-1)^(i+j),i,j是针对某一个元素的下标

例如，a[1][2]的代数余子式就是(-1)^(1+2)*余子式

引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)元q[i][j]外都为0，那么行列式等于a[i][j]与它的代数余子式的乘积

定理2:行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

范德蒙行列式

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0

矩阵

判断方程组是否有解

行列式是方的（行数和列数相同）

矩阵定义：

1）由mxn个数a[I][j](I=1,2,3…，m=1,2,3…)排成的m行n列的数表

行数列数称为n阶矩阵

单位矩阵：

矩阵运算：

矩阵加法：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算

（1）A+B=B+A

（2）（A+B）+C=A+（B+C）

A+（-A）=O（0矩阵也是有维数的）

数与矩阵相乘

定义3:数𝛌与矩阵A的乘积计作𝛌A或A𝛌，𝛌A=A𝛌

矩阵和矩阵相乘：

定义4:设A是一个mxs矩阵，B是一个sxn的矩阵，则AxB是一个mxn矩阵C

注意：只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘

矩阵A不等于0，B不等于0，但却有BA等于0.如果A,B满足AB=O,不能得出A等于O或者B等于O

注意：AxB不一定等于BxA

矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足结合律和分配律

AxE=ExA=A（E是单位矩阵）

(AB)^k不等于A^kxB^k

(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2

b=Ax,y=Ax

矩阵的转置

定义5:把矩阵的行换成同序数的列的到的矩阵，A的转置矩阵，记作A^T

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矩阵的转置也是一种运算：

（1）(A^T)^T=A

（2）(A+B)^T=A^T+B^T

（3）(AB)^T=(B^T)*(A^T)

对称矩阵：

满足A为方阵，且A^T=A

矩阵的证明题从定义入手