特征值究竟体现了矩阵的什么特征？

特征值究竟体现了矩阵的什么特征？

简单来说就是x经过矩阵A映射后和自己平行

希尔伯特第一次提出eigenvalue,这里的eigen就是自己的。所以eigenvalue也称作本征值

特征值和特征向量刻画了矩阵变换空间的特征

对平面上的任意向量可以如法炮制，把他在特征向量的坐标系下分解。分别在每个轴上伸缩，再用平行四边形法则加起来。就可以轻松确定任何一个向量被映射后到底在哪里。

可以说，矩阵特征向量的变化很好的描述了矩阵对空间的影响

将以上总结为3步

1. 把向量分解为特征向量的线性组合

   

2. 根据特征值分别缩放每个特征向量，两个特征值分别是2和3，所以两个系数就变成了两倍和三倍

3. 重新将这些特征向量组合起来，将变换后的这些组合的系数向量使用线性映射P再变回去，就得到了原始空间的最终结果

经过以上3步就得到了A作用于一个向量映射的整个过程。

我们为什么要费这么大的劲求这个分解呢？

1. 计算简便

其中求特征值，利用特征多项式来求

线性空间当中几乎所有向量，经过某个线性映射的反复迭代以后，都会趋近于特征值最大的一个方向。

为什么要讲相似矩阵？

P这个矩阵承担着两个视角（默认视角和特征向量视角）之间的转换。

使用不同的视角来观察同一个线性映射。会得到不同的矩阵，于是这些矩阵叫做相似矩阵

头尾两个矩阵，就是这两个视角的转移矩阵

这个映射具有的性质，就被所有能够用相似变换所观察到的其他矩阵所共有。在某些方向上，方向不变时，伸长的倍数是保持的。这就是为什么**所有相似矩阵，他们特征值的集合是一样的。**而特征向量不一样

在特征向量的视角下，矩阵的迭代累乘变得特别简单，才使得我们可以用特征分解快速的计算出一个矩阵的幂次

一些结论

1.矩阵所有特征值的乘积等于行列式

2.几何重数不会超过代数重数

视频链接：

https://www.bilibili.com/video/BV1TH4y1L7PV/?spm_id_from=333.788&vd_source=8272bd48fee17396a4a1746c256ab0ae