初等数论精解【4】

算术基本定理

基础

• 任何一个大于1的整数可以被分解为素因数的连乘积。
  $a=p_1\times p_2....\times p_n\ge 1$
  这里，$p_1,...p_n$都是素数，其中可能有相同的。
• $p是一个素数，p\nmid a\iff (p,a)=1$
• $如果a,b,c都是正整数，(a,b)=1,c\mid a=>(b,c)=1$
• $如果a,b,c都是正整数，(a,b)=1,a\mid bc=>a\mid c$
• 如果$n\ge 2$是一个整数，而$a_1,a_2,...,a_n和a都是正整数，当a\mid a_1{a}_2...a_n$和$(a,a_1)=(a,a_2)=...=(a,a_{n-1})=1时$，就一定有$a\mid a_n$
• $n\ge 2是一个整数，而b_1,b_2,...b_n和a都是正整数，当(a,b_1)=(a,b_2)=...=(a,b_n)=1时$
  有$(a,b_1{b}_2...b_n）=1$
• 如果$n\ge 2$是一个整数，而$a_1,a_2,...,a_n$都是正整数，而p是一个素数，当$p\mid a_1{a}_2...a_n$时，至少存在一个$a_i,p\mid a_i$
• 如果$n\ge 2$是一个整数，而$p_1,p_2,...,p_n和p$都是素数，当$p\mid p_1{p}_2...p_n$时，至少存在一个$p_i,p=p_i$
• $不计较因数的次序，只有一种方法可把一个正整数a>1分解成素因数的连乘积，即任何整数a>1，只能分解为以下形式$
  $a=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_n^{a_n},n\ge 1$

理论

下面内容由文心一言自动生成

整数运算规则

整数算术运算性质是数学中整数进行加、减、乘、除等基本运算时所遵循的一系列规则和特性。以下是对这些性质的详细归纳：

1. 加法性质

• 封闭性：任意两个整数的和仍然是整数。
• 交换律：对于任意两个整数a和b，有a + b = b + a。即两个加数交换位置，和不变。
• 结合律：对于任意三个整数a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)。即先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
• 单位元：整数集包含一个加法单位元（即零），对于任意整数a，有a + 0 = a。
• 逆元：对于任意整数a，存在一个整数-a（称为a的相反数），使得a + (-a) = 0。

2. 减法性质

• 转化为加法：整数的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
• 连续减法：一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加，再相减。即a - b - c = a - (b + c)。

3. 乘法性质

• 封闭性：任意两个整数的积仍然是整数。
• 交换律：对于任意两个整数a和b，有a × b = b × a。即两个因数交换位置，积不变。
• 结合律：对于任意三个整数a、b和c，有(a × b) × c = a × (b × c)。即先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。
• 分配律：对于任意三个整数a、b和c，有a × (b + c) = a × b + a × c。即一个数乘以两个数的和的积等于这个数分别与加法中的两个数相乘后所得积的和。
• 单位元：整数集包含一个乘法单位元（即1），对于任意非零整数a，有a × 1 = a。但注意0没有乘法逆元。

4. 除法性质

• 转化为乘法：整数的除法可以转化为乘法运算，即a ÷ b = a × (1/b)（在整数范围内通常不考虑非整数结果，但此转化在理解除法性质时有帮助）。
• 除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除。即a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)（但注意除数不能为0）。
• 商不变性质：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外），它们的商不变。即a ÷ b = (a × c) ÷ (b × c) = (a ÷ c) ÷ (b ÷ c)（c不为0）。

5. 其他性质

• 零的性质：任何数乘以0都等于0；0不能作为除数。
• 有序性（在整数集中）：整数集是有序的，即对于任意两个整数a和b，要么a < b，要么a > b，要么a = b。

这些性质构成了整数算术运算的基础，对于理解和应用整数运算具有重要意义。

整数运算的性质

它们定义了整数之间进行加、减、乘、除等基本运算时遵循的规则和特性。以下是一些关键的整数运算性质：

1. 封闭性：

   • 加法封闭性：任意两个整数的和仍然是整数。
   • 减法封闭性（在某些定义下）：虽然整数减整数不总是产生非负整数，但结果仍然是整数。
   • 乘法封闭性：任意两个整数的积仍然是整数。
   • 注意：除法不总是具有封闭性，因为整数除以非零整数可能产生非整数（即分数或小数）。但在整数运算中，我们通常只考虑整除的情况，即结果仍为整数的除法。

2. 结合律：

   • 加法结合律：对于任意整数a, b, c，有(a + b) + c = a + (b + c)。
   • 乘法结合律：对于任意整数a, b, c，有(a * b) * c = a * (b * c)。

3. 交换律：

   • 加法交换律：对于任意整数a, b，有a + b = b + a。
   • 乘法交换律：对于任意整数a, b，有a * b = b * a。

4. 分配律：

   • 乘法对加法的分配律：对于任意整数a, b, c，有a * (b + c) = a * b + a * c。

5. 单位元：

   • 加法单位元：存在唯一整数0，使得对于任意整数a，有a + 0 = a。
   • 乘法单位元：存在唯一整数1（注意0没有乘法逆元），使得对于任意非零整数a，有a * 1 = a。

6. 逆元：

   • 加法逆元：对于任意整数a，存在唯一整数-a（称为a的相反数），使得a + (-a) = 0。
   • 注意：整数（除了0）在乘法下不一定有逆元，但在整数范围内，对于任意非零整数a，如果存在整数b使得a * b = 1，则称b是a的乘法逆元。但在普通整数运算中，我们通常不考虑非1或-1的乘法逆元，因为它们通常不是整数。

7. 零的性质：

   • 任何数乘以0都等于0：对于任意整数a，有a * 0 = 0。
   • 零不能作为除数：在整数除法中，除数不能为0。

8. 有序性（在某些上下文中）：

   • 整数集是有序的，这意味着对于任意两个整数a和b，要么a < b，要么a > b，要么a = b。但请注意，这一性质在某些更抽象的整数运算或代数结构中可能不适用。

这些性质是整数运算的基础，也是更高级数学和计算机科学中许多概念的基础。

整数构成域吗

整数（通常指的是所有正整数、负整数和零的集合，记作 $\mathbb{Z}$）不构成域。

在数学中，一个域（Field）是一个可以进行加、减、乘、除（除数不为零）四种运算而结果不会超出其定义范围的一组数的集合。具体来说，一个域需要满足以下条件：

1. 加法和乘法都是封闭的，即域中任意两个元素的和与积仍然在域中。
2. 加法和乘法都满足交换律、结合律和分配律。
3. 存在加法单位元（通常记作0）和乘法单位元（通常记作1），且对于域中的任意非零元素，都存在一个乘法逆元。

整数集 $\mathbb{Z}$ 在加法和乘法下是封闭的，满足交换律、结合律和分配律，且存在加法单位元0和乘法单位元1。然而，整数集不满足域的最后一个条件，即对于域中的任意非零元素，都存在一个乘法逆元。在整数集中，除了1和-1之外，其他整数没有乘法逆元（因为整数除法可能产生非整数结果）。

因此，整数集不构成域。但是，整数集是一个环（Ring），因为它满足除了存在乘法逆元之外的所有域的条件。此外，整数集在模n运算下（其中n是正整数）可以构成一个有限域（也称为伽罗瓦域），但这与整数集本身作为无限集合的性质不同。

参考文献

1.文心一言
2.《初等数论》陈景润