计算机中的浮点数运算

计算机中的浮点数

  计算机中以固定长度存储浮点数的方式，造成了浮点数运算过程容易产生上溢和下溢。以float32为例, 其标记位占1bit,指数位占8bit,小数部分占23bit

经典下溢场景

  不满足精度导致截断误差

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int main() {float a = 1.f;float eps = 1e-8f;float c = a + eps;cout << setprecision(16) << a << "+" << eps << "=" << c << endl;return 0;
}

微小的误差很容易被放大

  这里以二元一次方程的求根为例
  $a{x}^2+bx+c=0$
  根据基础数学知识,你会给出这样一个解决方案
  $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  由此设计程序

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;int main() {float a, b, c;float temp, root, r1, r2;cout << "该程序用于求一元二次方程ax^2+bx+c=0的解" << endl;cout << "请依次输入a b c的值（a不要为0）" << endl;cin >> a >> b >> c;temp = b * b - 4 * a * c;root = sqrt(temp);if (temp < 0) {cout << "改方程无解\n";return -1;}r1 = (-b + root) / 2.0 / a;r2 = (-b - root) / 2.0 / a;cout << "一元二次方程的解为：" << r1 << " , " << r2 << endl;return 0;
}

  使用这段程序输入 $0.01,1000,1$
  输出$-0.00305176,-100000$
  而保留小数点后六位有效数字应该是$-0.001000,-99999.990000$
  此时，第一项的相对误差为百分之两百，而第二项的相对误差为千万分之一。
  显然，两个相近的数相减会使得运算后的有效位数变少，也就是在$a,c$的值很小时， $ -b + \sqrt {b^2-4ac}$ 这一操作过后，使得实际结果的有效位变低了(或者说引入了较大的误差)，并且这个误差会在后续的运算中被放大。
  这时可以通过数学手段减少误差
  既然 $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  分子分母同时乘以 $-b-\sqrt{b^2-4ac},-b+\sqrt{b^2-4ac}$ 可得
  $x_{1} = \frac{2c}{-b - \sqrt {b^2-4ac}} , x_{2} =\frac{2c}{-b + \sqrt {b^2-4ac}} $
  根据b 的正负性，两个求根公式各取一半得到新的算法
  新算法的结果为$-0.001,-10000$

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;int main() {float a, b, c;float temp, root, r1, r2;cout << "该程序用于求一元二次方程ax^2+bx+c=0的解" << endl;cout << "请依次输入a b c的值（a不要为0）" << endl;cin >> a >> b >> c;temp = b * b - 4 * a * c;root = sqrt(temp);if (temp < 0) {cout << "改方程无解\n";return -1;}if (b > 0) {r1 = 2 * c / (-b - root);r2 = (-b - root) / 2 / a;}else if (b < 0) {r1 = (-b + root) / 2 / a;r2 = 2 * c / (-b + root);}else {temp = c / a;r1 = sqrt(-temp);r2 = -sqrt(-temp);}cout << "一元二次方程的解为：" << r1 << " , " << r2 << endl;return 0;
}