当前位置：首页 > news >正文

《Java初阶数据结构》----5.＜二叉树的概念及使用＞

news 2026/1/27 8:29:53

前言
大家好，我目前在学习java。之前也学了一段时间，但是没有发布博客。时间过的真的很快。我会利用好这个暑假，来复习之前学过的内容，并整理好之前写过的博客进行发布。如果博客中有错误或者没有读懂的地方。热烈欢迎大家在评论区进行讨论！！！
喜欢我文章的兄弟姐妹们可以点赞，收藏和评论我的文章。喜欢我的兄弟姐妹们以及也想复习一遍java知识的兄弟姐妹们可以关注我呦，我会持续更新滴，
望支持！！！！！！一起加油呀！！！！

语言只是工具，不能决定你好不好找工作，决定你好不好找工作的是你的能力！！！！！

学历本科及以上就够用了！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

【本章博客包含】
1.树的基本概念
2.二叉树概念及特性
3.二叉树的基本操作及方法模拟实现
4.二叉树相关的编程题练习

一、树的概念

1.1基本概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树。它是根朝上，而叶朝下的。

它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。

//注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2内部（重要）概念

在这里插入图片描述

1.结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
2.树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
3.叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
4.双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
5.孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
6.根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
7.结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
8.树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3树的表示形式

双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。
最常用的：孩子兄弟表示法。

1.4树的应用

文件管理系统（目录和文件）

二、二叉树的概念

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树特点：
1.二叉树不存在度大于2的结点
2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
在这里插入图片描述

2.2两种特殊的二叉树

满二叉树：一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。

注意：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
在这里插入图片描述

2.3二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有(i>0)个结点
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是(k>=0)
对任何一棵二叉树,如果其叶结点个数为n0,度为2的非叶结点个数为n2,则有n0＝n2＋1
.具有n个结点的完全二叉树的深度k为log以2为低（n+1）上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子
优先级队列

性质3的推导
节点：n = n1 + n2 + n3
边：e = 2n2 + n1 = n-1 （除根节点外每个节点对应一条边）
得出 2n2 + n1 = n1 + n2 + n3 -1
化简：n0= n2+ 1

2.4二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在优先级队列文章介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
} // 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

三、二叉树的基本操作

// 前序遍历
void preOrder(Node root);// 中序遍历
void inOrder(Node root);// 后序遍历
void postOrder(Node root);// 获取树中节点的个数
int size(Node root);// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);
// 子问题思路-求叶子结点个数// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);//层序遍历
void levelOrder(Node root);// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);

1.前序遍历

1.1 二叉树无返回值的前序遍历

    //二叉树无返回值的前序遍历public void prevOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}

1.2 二叉树有返回值的前序遍历

    public List<Character> preorderTraversal(TreeNode root) {List<Character> ret = new ArrayList<>();if(root == null){return ret;}ret.add(root.val);List<Character> leftTree = preorderTraversal(root.left);ret.addAll(leftTree);List<Character> rightTree = preorderTraversal(root.right);ret.addAll(rightTree);return ret;}

2.中序遍历

    public void inOrder(TreeNode root){if (root == null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}

    public List<Character>  inOrderTraversal(TreeNode root){List<Character> ret = new ArrayList<>();if(root == null){return ret;}List<Character> leftTree = inOrderTraversal(root.left);ret.addAll(leftTree);ret.add(root.val);List<Character> rightTree = inOrderTraversal(root.right);ret.addAll(rightTree);return ret;}

3.后序遍历

    //后序遍历public void postOrder(TreeNode root){if (root == null){return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");}

    public List<Character>  postOrderTraversal(TreeNode root){List<Character> ret = new ArrayList<>();if(root == null){return ret;}List<Character> leftTree = inOrderTraversal(root.left);ret.addAll(leftTree);List<Character> rightTree = inOrderTraversal(root.right);ret.addAll(rightTree);ret.add(root.val);return ret;}

4.获取树中节点个数

    // 获取树中节点的个数public int size;int sizeNode(TreeNode root){if(root == null){return 0;}size++;sizeNode(root.left);sizeNode(root.right);return size;}

    int sizeNode2(TreeNode root){if(root == null){return 0;}return sizeNode2(root.left)+sizeNode2(root.right)+1;}

5.获取叶子节点的个数

    //5. 获取叶子节点的个数（左右都为空）int getLeafNodeCount1(TreeNode root){if(root == null){return 0;}if(root.left == null && root.right == null){return 1;}return getLeafNodeCount1(root.left)+getLeafNodeCount1(root.right);}

    public int leafSize;void getLeafNodeCount2(TreeNode root){if(root == null){return;}if(root.left == null && root.right == null){leafSize++;}getLeafNodeCount2(root.left);getLeafNodeCount2(root.right);}

子问题思路-求叶子结点个数

// 子问题思路-求叶子结点个数int getLeafNodeCount1(TreeNode root){if(root == null){return 0;}if(root.left == null && root.right == null){return 1;}return getLeafNodeCount1(root.left)+getLeafNodeCount1(root.right);}

    //统计求解public int leafSize;void getLeafNodeCount2(TreeNode root){if(root == null){return;}if(root.left == null && root.right == null){leafSize++;}getLeafNodeCount2(root.left);getLeafNodeCount2(root.right);}

6.获取第K层节点的个数

    // 获取第K层节点的个数int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){if(root == null){return 0;}if(k == 1){return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}

7.获取二叉树的高度

    // 获取二叉树的高度int getHeight(TreeNode root){if(root ==null){return 0;}getHeight(root.left);getHeight(root.right);return Math.max(getHeight(root.left),getHeight(root.right))+1;}

    int getHeight1(TreeNode root){if(root ==null){return 0;}int left = getHeight(root.left);int right = getHeight(root.right);return Math.max(left,right)+1;}

    int getHeight2(TreeNode root){if(root ==null){return 0;}return Math.max(getHeight(root.left),getHeight(root.right))+1;}

8.检测值为value的元素是否存在

    // 检测值为value的元素是否存在boolean findVal(TreeNode root, int val){if(root == null){return false;}if(root.val == val){return true;}boolean leftVal = findVal(root.left,val);if(leftVal){return true;}boolean rightVal = findVal(root.right,val);if(rightVal){return true;}return false;}

9.层序遍历

    //层序遍历(无返回值)public void levelOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()){TreeNode cur = queue.poll();System.out.print(cur.val+" ");if(cur.left!=null){queue.offer(cur.left);}if(cur.right!=null){queue.offer(cur.right);}}}

    //有返回值为List<List<TreeNode>>的层序遍历public List<List<TreeNode>> levelOrder2(TreeNode root){List<List<TreeNode>> ret = new ArrayList<>();if(root == null){return ret;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()){int size = queue.size();List<TreeNode> temp = new ArrayList<>();while ((size!=0)){TreeNode cur = queue.poll();temp.add(cur);size--;if(cur.left!=null){queue.offer(cur.left);}if(cur.right!=null){queue.offer(cur.right);}}ret.add(temp);}return ret;}

    //有返回值为List<List<Character>>的层序遍历public List<List<Character>> levelOrder3(TreeNode root) {List<List<Character>> ret = new ArrayList<>();if(root == null){return ret;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()){int size = queue.size();List<Character> temp = new ArrayList<>();while ((size!=0)){TreeNode cur = queue.poll();temp.add(cur.val);size--;if(cur.left!=null){queue.offer(cur.left);}if(cur.right!=null){queue.offer(cur.right);}}ret.add(temp);}return ret;}

10.判断一棵树是不是完全二叉树

    public boolean isCompleteTree(TreeNode root){if(root == null){return true;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()){TreeNode cur = queue.poll();if(cur != null){queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);}else {//说明此时队列里全是空break;}}while (!queue.isEmpty()){TreeNode cur = queue.poll();if (cur != null){return false;}}return true;}

1.首先如果这棵树为null，那么是完全二叉树返回true。

11.寻找节点路径问题

    private boolean getPath(TreeNode root,TreeNode node,Stack<TreeNode> stack ){if(root == null || node == null){return false;}stack.push(root);if(root == node){return true;}boolean flg = getPath(root.left,node,stack);if(flg == true){return true;}boolean flg2 = getPath(root.right,node,stack);if(flg2 == true){return true;}stack.pop();return false;}

这个思想很简单。

1.如果树为null或节点为null那么没有找到路径，返回false。
2.接着将根节点添加到栈中。如果根节点为要找的节点。那么返回true。
3.接着去树的左边找，右边找。将每次路过的节点都添加到栈中。
4.如果左右两边都没有要找的节点。那么就弹出这个“根节点”。
5.最终栈留下来的就是我们要找的节点的路径了。返回true。

《Java数据结构》—二叉树的基本操作代码的具体实现

四、面试题练习

检查两颗树是否相同

/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*     int val;*     TreeNode left;*     TreeNode right;*     TreeNode() {}*     TreeNode(int val) { this.val = val; }*     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {*         this.val = val;*         this.left = left;*         this.right = right;*     }* }*/
class Solution {public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {if(p == null && q == null){return true;}if(p != null && q == null || p == null && q != null){return false;}if(p.val != q.val){return false;}return isSameTree(p.left,q.left)&&isSameTree(p.right,q.right);}
}

另一棵树的字树

/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*     int val;*     TreeNode left;*     TreeNode right;*     TreeNode() {}*     TreeNode(int val) { this.val = val; }*     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {*         this.val = val;*         this.left = left;*         this.right = right;*     }* }*/
class Solution {public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) {if(root == null){return false;//容易漏掉}if(isSameTree(root,subRoot)){return true;}if(isSubtree(root.left,subRoot)){return true;}if(isSubtree(root.right,subRoot)){return true;}return false; }public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {if(p == null && q == null){return true;}if(p != null && q == null || p == null && q != null){return false;}if(p.val != q.val){return false;}return isSameTree(p.left,q.left)&&isSameTree(p.right,q.right);}
}

翻转二叉树

/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*     int val;*     TreeNode left;*     TreeNode right;*     TreeNode() {}*     TreeNode(int val) { this.val = val; }*     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {*         this.val = val;*         this.left = left;*         this.right = right;*     }* }*/
class Solution {public TreeNode invertTree(TreeNode root) {if(root == null){return null;}TreeNode temp = root.left;root.left = root.right;root.right = temp;invertTree(root.left);invertTree(root.right);return root;}
}

平衡二叉树

class Solution {public boolean isBalanced(TreeNode root) {if(root == null){return true;}return biTreeHight(root)>=0;}public int biTreeHight(TreeNode root){if(root == null){return 0;}int hl = biTreeHight(root.left);int hr = biTreeHight(root.right);if(Math.abs(hl-hr)<=1&&hl>=0&&hr>=0){return Math.max(hl,hr)+1;}else{return -1;}}
}

对称二叉树


class Solution {public boolean isSymmetric(TreeNode root) {if(root == null){return true;}return isSymmetricChild(root.left,root.right);   }public boolean isSymmetricChild(TreeNode p,TreeNode q){if(p == null && q == null){return true;}if(p != null && q == null ||p == null && q != null){return false;}if(p.val != q.val){return false;}return isSymmetricChild(p.left,q.right)&& isSymmetricChild(p.right,q.left);}
}

二叉树的构建及遍历

import java.util.Scanner;class TreeNode{char val;TreeNode left;TreeNode right;public TreeNode(char val){this.val = val;}
}
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);// 注意 hasNext 和 hasNextLine 的区别while (in.hasNextLine()) { // 注意 while 处理多个 caseString str = in.nextLine();TreeNode root = createTree(str);inOrder(root);}}public static int i = 0;public static TreeNode createTree(String str){TreeNode root = null;if(str.charAt(i) != '#'){root = new TreeNode(str.charAt(i));i++;root.left = createTree(str);root.right = createTree(str);}else{i++;}return root;}public static void inOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}
}

二叉树的层序遍历

class Solution {public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>();if(root == null){return ret;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()){int size = queue.size();List<Integer> temp = new ArrayList<>();while ((size!=0)){TreeNode cur = queue.poll();temp.add(cur.val);size--;if(cur.left!=null){queue.offer(cur.left);}if(cur.right!=null){queue.offer(cur.right);}}ret.add(temp);}return ret;}
}

二叉树的最近公共祖先

class Solution {public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {if(root == null){return null;}Stack<TreeNode> stackP = new Stack<>();Stack<TreeNode> stackQ = new Stack<>();getPath(root,p,stackP);getPath(root,q,stackQ);int sizeP = stackP.size();int sizeQ = stackQ.size();if(sizeP>sizeQ){int size = sizeP-sizeQ;while(size != 0){stackP.pop();size--;}}else{int size = sizeQ-sizeP;while(size != 0){stackQ.pop();size--;}           }while(!stackP.isEmpty() && !stackQ.isEmpty()){if(stackP.peek().equals(stackQ.peek())){return stackP.peek();}stackP.pop();stackQ.pop();}return null;}private boolean getPath(TreeNode root,TreeNode node,Stack<TreeNode> stack ){if(root == null || node == null){return false;}stack.push(root);if(root == node){return true;}boolean flg = getPath(root.left,node,stack);if(flg == true){return true;}boolean flg2 = getPath(root.right,node,stack);if(flg2 == true){return true;}stack.pop();return false;}
}

//利用递归
class Solution {public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {if(root == null){return null;}if(p == root || q == root){return root;}TreeNode leftTree = lowestCommonAncestor(root.left,p,q);TreeNode rightTree = lowestCommonAncestor(root.right,p,q);if(leftTree!= null && rightTree != null){return root;}else if(leftTree!=null){return leftTree;}else{return rightTree;}}
}

根据一棵树的前序与中序遍历序列构造二叉树

class Solution {public int preIndex;//成员变量public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {return buildTreeChild(preorder,inorder,0,inorder.length-1);}private TreeNode buildTreeChild(int[] preorder,int[] inorder,int inbegin,int inend){//1.若没有左树或者没有右树if(inbegin>inend){return null;}//2.创建根节点TreeNode root = new TreeNode(preorder[preIndex]); //3.从中序遍历中找到根节点下标int rootIndex = findIndex(inorder,inbegin,inend,preorder[preIndex]);if(rootIndex == -1){return null;}preIndex++;//4.先创建左子树 后创建右子树root.left = buildTreeChild(preorder,inorder,inbegin,rootIndex-1);root.right = buildTreeChild(preorder,inorder,rootIndex+1,inend);return root;}private int findIndex(int[] inorder,int inbegin,int inend,int key){for(int i = inbegin; i<= inend ; i++){if(inorder[i] == key){return i;}}return -1;}
}

根据一棵树的中序与后序遍历序列构造二叉树

/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*     int val;*     TreeNode left;*     TreeNode right;*     TreeNode() {}*     TreeNode(int val) { this.val = val; }*     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {*         this.val = val;*         this.left = left;*         this.right = right;*     }* }*/
class Solution {public int postIndex;//成员变量public TreeNode buildTree(int[] inorder,int[] postorder) {postIndex = postorder.length-1;return buildTreeChild(postorder,inorder,0,inorder.length-1);}private TreeNode buildTreeChild(int[] postorder,int[] inorder,int inbegin,int inend){//1.若没有左树或者没有右树if(inbegin>inend){return null;}//2.创建根节点TreeNode root = new TreeNode(postorder[postIndex]); //3.从中序遍历中找到根节点下标int rootIndex = findIndex(inorder,inbegin,inend,postorder[postIndex]);if(rootIndex == -1){return null;}postIndex--;//4.先创建左子树 后创建右子树root.right = buildTreeChild(postorder,inorder,rootIndex+1,inend);root.left = buildTreeChild(postorder,inorder,inbegin,rootIndex-1);return root;}private int findIndex(int[] inorder,int inbegin,int inend,int key){for(int i = inbegin; i<= inend ; i++){if(inorder[i] == key){return i;}}return -1;}
}

根据二叉树创建字符串

class Solution {public String tree2str(TreeNode root) {if (root == null) {return "";}if (root.left == null && root.right == null) {return Integer.toString(root.val);}if (root.right == null) {return new StringBuffer().append(root.val).append("(").append(tree2str(root.left)).append(")").toString();}return new StringBuffer().append(root.val).append("(").append(tree2str(root.left)).append(")(").append(tree2str(root.right)).append(")").toString();}
}

二叉树的前序遍历(非递归实现)

/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*     int val;*     TreeNode left;*     TreeNode right;*     TreeNode() {}*     TreeNode(int val) { this.val = val; }*     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {*         this.val = val;*         this.left = left;*         this.right = right;*     }* }*/
class Solution {public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> ret = new ArrayList<>();if(root == null){return ret;}ret.add(root.val);List<Integer> leftTree = preorderTraversal(root.left);ret.addAll(leftTree);List<Integer> rightTree = preorderTraversal(root.right);ret.addAll(rightTree);return ret;}
}

二叉树的中序遍历(非递归实现)

class Solution {public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> ret = new ArrayList<>();if(root == null){return ret;}List<Integer> leftTree = inorderTraversal(root.left);ret.addAll(leftTree);ret.add(root.val);List<Integer> rightTree = inorderTraversal(root.right);ret.addAll(rightTree);return ret;}
}

二叉树的后序遍历(非递归实现)

/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*     int val;*     TreeNode left;*     TreeNode right;*     TreeNode() {}*     TreeNode(int val) { this.val = val; }*     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {*         this.val = val;*         this.left = left;*         this.right = right;*     }* }*/
class Solution {public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> ret = new ArrayList<>();if(root == null){return ret;}List<Integer> leftTree = postorderTraversal(root.left);ret.addAll(leftTree);List<Integer> rightTree = postorderTraversal(root.right);ret.addAll(rightTree);ret.add(root.val);return ret;}
}