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二叉树拙见

news 2026/4/6 5:49:51

1.树的概念及结构

1.1树的概念：

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
（1）有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

（2）除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。

（3）每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继因此，树是递归定义的。

树的结构：

在树形结构中，子树之间是不能有交集的

1.2树的各部分名称：

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；如上图：A的为3

叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：E、F、C、G结点为叶结点

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：A、B、D结点为分支结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点；一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为3

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为3

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：E、G互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂，要存储表示起来就比较麻烦，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

我们用孩子兄弟法进行存储：

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* Child; // 第一个孩子结点struct Node* Brother; // 指向其下一个兄弟结点DataType data; // 结点中的值
};

2.二叉树的概念及结构

2.1二叉树的概念：

二叉树（binary tree）是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树。

（1）二叉树不存在度大于2的结点
（2）二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2特殊的二叉树：

（1）满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
（2）完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3二叉树的性质：

（1）在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点（i>=1）下面以满二叉树为例：
第一层的结点是根结点，只有一个，所以2^1-1 = 2^0=1

第二层有两个结点，所以2^(2-1) = 2^1=2

第三层有四个结点，所以2^(3-1) = 2^2=4

第四层有八个结点，所以2^(4-1) = 2^3=8

（2）深度为k的二叉树至多有2^(k-1)个结点（k>=1）

（3）对于任何一颗二叉树，如果其度为0结点数为m，度为2的结点数为n，则m=n+1

（4）具有n个节点的完全二叉树深为（以2为底（n+1）的对数） $\log(n+1)$

（5）如果对一颗有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任一结点i（1<=i<=n)

若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.4二叉树的存储：

（1）顺序存储：

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

（2）链式存储：

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。

3.二叉树的顺序存储实现

3.1顺序结构：

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2堆的概念及结构：

如果有一个关键码的集合K = { k0，k1 ，k2 ，…，kn-1 }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

（1）堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值
（2）堆总是一棵完全二叉树

3.3堆的实现：（向下调整法）：

void AdjustHeapDown(type*arr,int n,int parent)
{int child = 2 * parent + 1;//找最小的那一个while (child < n){if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[child] < arr[parent]){Sweap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}}
}

把最大的数调整到最下面，从而实现小堆的形式

3.4创建堆：

给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过向上调整法，把它构建成一个堆。根结点左右子树不是堆，这里我们从倒数的第一个非叶子结点的子树开始调整，一直调整到根结点的树，就可以调整成堆。

向上调整法代码实现：

void AdjustHeapUp(type* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (arr[parent] > arr[child]){Sweap(&arr[parent], &arr[child]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

3.5堆的实现复杂度：

3.6堆的插入：

可以先插入到最后一个位置，再用向上调整法进行对堆的整理

3.7堆的删除：

可以先把堆顶数据与最后一个数据交换，删除最后一个数据，再用向下调整法整理

4.堆的应用（堆排）

堆排实现可以先建立大堆，把最大的数放到堆顶，再把堆顶数据和最后一个数据交换，在进行向下调整，重复上述操作。

void HeapSort(int* a, int n)
{for (int i = 1; i < n; i++){AdjustHeapUp(a, i);}int k = n - 1;while (k > 0){Sweap(&a[0], &a[k]);AdjustHeapDown(a, k, 0);k--;}
}

5.二叉树的遍历

5.1前序中序后序：

（1）前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
（2）中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
（3）后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

以前序遍历为例：

代码实现：

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}printf("%c ", root->data);BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

中序后序相应把printf的位置放在两个递归中间，递归之后。

5.2层序遍历：

层序遍历：设二叉树的根结点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发，首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第2层上的结点，接着是第三层的结点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。