【数学分析笔记】第1章第1节：集合（1）

作为一个计算机专业的人，想自学一下数学专业的专业课补一补AI基础，顺带写个笔记，听的课是陈纪修版本的数学分析：

1. 集合与映射

1.1 集合

1.1.1 基本概念

• 集合：由某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集的总体。

• 集合的元素：集合中的“对象”又称为集合的元素。

• 集合往往是用大写字母表示，比如$\text{S},\text{T},\text{A},\text{B},\text{X},\text{Y}$；

• 对元素来说往往是用小写字母表示，比如
  $s,t,a,b,x,y$；

• $x$是集合$S$的元素，记为$x\in \text{S}$

• $y$不是集合$S$的元素，记为$y\bar{\in }\text{S}$或$y\notin \text{S}$

1.1.2 常见的集合

常见的集合表示如下：

类型	符号	说明
正整数集合	${\text{N}}^{+}$	{ 1 , 2 , 3 , . . . } \{1,2,3,...\} {1,2,3,...}
自然数集合	$\text{N}$	{ 0 , 1 , 2 , . . . } \{0,1,2,...\} {0,1,2,...}
整数集合	$\text{Z}$	{ . . . , − 1 , 0 , 1 , . . . } \{...,-1,0,1,...\} {...,−1,0,1,...}
有理数集合	$\text{Q}$	有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合
实数集合	$\text{R}$	实数是有理数和无理数的总称
空集	$\varnothing$	没有任何元素的集合

1.2 集合的表示

1.2.1 枚举法

所谓枚举法就是将集合中的元素一个一个写出来。
【例】光的基色的集合
{ 红 , 绿 , 蓝 } \{红,绿,蓝\} {红,绿,蓝}

【例】$\text{A}$是$a,b,c,d$构成的集合
A = { a , b , c , d } \textbf{A}=\{a,b,c,d\} A={a,b,c,d}

【例】整数集合
Z = { ± 1 , ± 2 , . . . , ± n , . . . } \textbf{Z}=\{\pm 1,\pm 2,...,\pm n,...\} Z={±1,±2,...,±n,...}

【例】正整数集合
N + = { 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . } \textbf{N}^{+}=\{1,2,3,...,n,...\} N+={1,2,3,...,n,...}

1.2.2 描述法

一个集合是具有某种性质$p$元素汇集的总体， S = { x ∣ x 满足性质 p } \textbf{S}=\{x|x满足性质p\} S={x∣x满足性质p}，像这样一个描述集合的方法叫做描述法
【例】2的方根
{ x ∣ x 2 = 2 } \{x|x^{2}=2\} {x∣x2=2}

【例】有理数集合
Q = { x ∣ x = q p , p ∈ N + 且 q ∈ Z } \textbf{Q}=\{x|x=\frac{q}{p},p\in \textbf{N}^{+}且q\in \textbf{Z}\} Q={x∣x=pq​,p∈N+且q∈Z}

【注】（1）集合的表示中没有次序的关系，比如， { a , b } = { b , a } \{a,b\}=\{b,a\} {a,b}={b,a}；重复也是有意义的（重复的元素相当于一个元素）， { a , b } = { b , a } = { a , a , b } \{a,b\}=\{b,a\}=\{a,a,b\} {a,b}={b,a}={a,a,b}
（2）空集的概念：没有元素的集合称为空集，比如， C = { x ∈ R 且 x 2 = − 1 } = ∅ \textbf{C}=\{x\in \textbf{R}且x^{2}=-1\}=\emptyset C={x∈R且x2=−1}=∅或 C = { x ∈ R 且 x 2 + 1 = 0 } = ∅ \textbf{C}=\{x\in \textbf{R}且x^{2}+1=0\}=\emptyset C={x∈R且x2+1=0}=∅