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2024.8.12

2024.8.12 【梦最让我费解的地方在于,明明你看不清梦里人们的脸,却清晰地知道他们是谁。】

Monday 七月初九


序理论

最小链覆盖&最长反链长度

我们设定一个二元关系符R和一个集合A

我们设定<A,R>这样一个类群,那么对于任意 a i ∈ A , a j ∈ A a_i\in A,a_j \in A aiA,ajA, 二元关系式$a_i\ R\ a_j $将返还一个bool值作为结果

在此类群中,我们对二元关系符做如下规定

  1. 自反性(reflexive) ( ∀ a i ∈ A ) , a i R a i = t r u e (\forall a_i \in A),a_i \ R \ a_i \ = true (aiA),ai R ai =true
  2. 反对称性(antisymmetric) ( ∀ a , b ∈ A ) , a R b = t r u e ⇒ a = b (\forall a,b \in A),a \ R \ b \ = true \Rightarrow a\ =\ b (a,bA),a R b =truea = b
  3. 传递性(transitive) ( ∀ a , b , c ∈ A ) , a R b = t r u e , b R c = t r u e ⇒ a R c = t r u e (\forall a,b,c\in A),a\ R \ b\ =true ,b\ R\ c\ =true \Rightarrow a\ R\ c\ = true (a,b,cA),a R b =true,b R c =truea R c =true

那么对于这个类群的最小链覆盖为
B ⊂ A , ∀ x ∈ B ∃ y ∈ B ⇒ x R y = t r u e ∨ y R x = t r u e B \subset A,\forall \ x \in B \\ \exists \ y \in B\Rightarrow \\ x\ R\ y\ = true \vee y\ R\ x\ = true BA, xB yBx R y =truey R x =true
B为满足条件的最小集

最长反链覆盖为

B ⊂ A , ∀ x ∈ B ∀ y ∈ B ⇒ ¬ ( x R y = t r u e ∨ y R x = t r u e ) B \subset A,\forall \ x \in B \\ \forall \ y \in B\Rightarrow \\ \neg (x\ R\ y\ = true \vee y\ R\ x\ = true) BA, xB yB¬(x R y =truey R x =true)
B为符合条件的最大集

Dilworth 定理

对于一个这样的类集,最小链覆盖是等于最长反链覆盖的

显然,当 ∣ A ∣ < = 3 |A|<=3 A<=3时,一定成立

我们设存在集合 C C C使得其满足该定理

使其宽度为K,若 C C C中任意元素均不可比,该定理显然成立

否则在该集合中取出一条长度大于1的链,令其中链首为 m m m,链尾为 M M M

T = A ∖ { m , M } T=A\setminus\{m,M\} T=A{m,M},若 T中的宽度不超过 d − 1 d-1 d1,则由归纳假设知 T T T可被至多$ d-1$条链覆盖,进而 S S S 可被这些链再加上链 { m , M } \{m,M\} {m,M}覆盖,命题成立,否则说明 T T T中的宽度也为 d d d,令 T T T 中最长的一条反链为 B B B

我们考虑如下两个集合:
A + = { x ∈ A : ( ∃ a ∈ B ) a ⪯ x } A − = { x ∈ A : ( ∃ a ∈ B ) x ⪯ a } A^+=\{x\in A:(\exists a\in B) \ a \preceq x\}\\ A^-=\{x\in A:(\exists a\in B) \ x \preceq a\}\\ A+={xA:(aB) ax}A={xA:(aB) xa}
我们很难不发现
A + ⊔ A − = A A + ⊓ A − = B ∣ A + ∣ < ∣ A ∣ , ∣ A − ∣ < ∣ A ∣ A^+\sqcup A^- = A\\ A^+\sqcap A^- = B\\ |A^+|<|A|,|A^-|<|A| A+A=AA+A=BA+<A,A<A
S + , S − S^+,S^- S+,S分别进行数学归纳

那么两个集合最小链覆盖数是 d d d,且均包含 B B B中一个元素

命题得证


[[ARC165E] Random Isolation]([ARC165E] Random Isolation - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

[ARC165E] Random Isolation

题面翻译

给一棵 n n n 个节点的树和一个整数 K K K。每次操作,等概率随机选一个所在连通块大小大于 K K K 的点,并删掉这个点和与之相连的所有边。重复操作直到图上所有连通块大小不超过 K K K,求期望操作次数,答案对 998244353 998244353 998244353 取模。

1 ≤ K < N ≤ 100 1\le K < N\le 100 1K<N100

translated by yxcat.

题目描述

頂点に $ 1 $ から $ N $ の番号が付いた $ N $ 頂点からなる木があります。 $ i $ 番目の辺は頂点 $ A_i,B_i $ を結びます。

グラフの連結成分が含む頂点の数がそれぞれ $ K $ 以下になるまで以下の操作を行い続けます。

  • $ N $ 個の頂点のうち、$ K+1 $ 個以上の頂点を含む連結成分に属する頂点を $ 1 $ つ一様ランダムに選ぶ。選んだ頂点を端点とする辺をすべて削除する。

操作を行う回数の期待値を $ \bmod\ 998244353 $ で求めてください。

期待値 $ \text{mod\ }{998244353} $ の定義 求める期待値は必ず有理数になることが証明できます。 また、この問題の制約のもとでは、その値を既約分数 $ \frac{P}{Q} $ で表した時、$ Q\ \not\ \equiv\ 0\ \pmod{998244353} $ となることも証明できます。 よって、$ R\ \times\ Q\ \equiv\ P\ \pmod{998244353},\ 0\ \leq\ R\ &lt\ 998244353 $ を満たす整数 $ R $ が一意に定まります。 この $ R $ を答えてください。

输入格式

入力は以下の形式で標準入力から与えられます。

$ N $ $ K $ $ A_1 $ $ B_1 $ $ A_2 $ $ B_2 $ $ \vdots $ $ A_{N-1} $ $ B_{N-1} $

输出格式

答えを出力してください。

样例 #1

样例输入 #1

4 2
1 2
2 3
2 4

样例输出 #1

249561090

样例 #2

样例输入 #2

20 10
16 8
6 2
18 3
3 12
5 1
13 9
13 19
3 11
5 13
17 6
8 14
1 16
16 20
11 15
3 10
15 4
5 18
1 7
1 17

样例输出 #2

181196154

提示

制約

  • $ 1\ \leq\ K\ <\ N\ \leq\ 100 $
  • $ 1\ \leq\ A_i,B_i\ \leq\ N $
  • 与えられるグラフは木
  • 入力される値はすべて整数

Sample Explanation 1

例えば $ 1 $ 回目の操作で頂点 $ 2 $ が選ばれた場合、操作によって全ての辺が削除され、操作後は各連結成分が含む頂点の数はそれぞれ $ 2 $ 以下であるため操作を終了します。一方 $ 1 $ 回目の操作で頂点 $ 1 $ が選ばれた場合、操作後頂点 $ 2,3,4 $ からなる連結成分が残るため、$ 2 $ 回目の操作が行われます。 操作回数の期待値は $ \frac{7}{4} $ です。

//2024.8.12
//by white_ice
//[ARC165E] Random Isolation | AT_arc165_e
#include<bits/stdc++.h>
//#include"need.cpp"
using namespace std;
#define int long long
#define itn long long
constexpr int oo = 105;
constexpr int mod=998244353;
int n,m;
itn siz[oo],f[oo][oo][oo],g[oo][oo];
int c[oo<<1],ic[oo<<1];
struct nod{int to[oo<<1],nxt[oo<<1],head[oo],tot;
__inline void adde(int u,int v){to[++tot]=v,nxt[tot]=head[u],head[u]=tot;}}S;
__inline int qpow(int x,int y){int ans=1;while (y){if(y&1)ans=ans*x%mod;y>>=1;x=x*x%mod;}return ans;}
__inline void dfs(int u,int fa){siz[u]=1,f[u][1][0]=1;for (int i=S.head[u];i;i=S.nxt[i]){int v=S.to[i];if (v==fa) continue;dfs(v,u);for (int j=siz[u]+siz[v];j>=0;j--)for (int k=siz[u]+siz[v];k>=0;k--)g[j][k]=f[u][j][k],f[u][j][k]=0;for (int j=siz[u];j>=1;j--)for (int k=siz[u]-j;k>=0;k--){f[u][j][k+1]=(f[u][j][k+1]+g[j][k])%mod;for (int p=siz[v];p>=1;p--)for (int q=siz[v]-p;q>=0;q--){f[u][j+p][k+q]=(f[u][j+p][k+q]+g[j][k]*f[v][p][q]%mod)%mod;}                }siz[u]+=siz[v];}
}
main(void){//fre();cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);c[0]=ic[0]=1;for (int i=1;i<=200;i++)	c[i]=c[i-1]*i%mod;ic[200]=qpow(c[200],mod-2);for (int i=200-1;i>=1;i--)	ic[i]=ic[i+1]*(i+1)%mod;cin >> n >> m ;for (int u,v,i=1;i<n;i++){cin >> u >> v;S.adde(u,v),S.adde(v,u);}dfs(1,0);int ans=0;for (int u=1;u<=n;u++){for (int i=m+1;i<=siz[u];i++){for (int j=0;j<=siz[u]-i;j++)ans=(ans+f[u][i][j]*c[i]%mod*c[j+(u!=1)]%mod*ic[i+j+(u!=1)]%mod)%mod;//,cout<<u<<" "<<i<<" "<<j<<" "<<f[u][i][j]<<"\n";}}cout << ans <<"\n";exit(0);
}

我们考虑,既然是计算概率,

那么对于一棵树,我们不妨将其转化为一个序列来考虑

我们假设一个序列s,我们从这个序列中选出n个点,假设已经从s中选出了x个点,那么又有n-x个点在剩余的序列中选择

1

(其中椭圆为要去除的点)

1

(红色部分为去除的)

那么后面的部分有n-x个点可以被选择,后半部分共k个点

那么我们将k自由组合排序,考虑第一个被选择的点

这些点的选择概率都是 1 n − x \frac{1}{n-x} nx1,所以我们考虑组合意义,共 ( n − x ) ! ( k − n + x ) ! k ! \frac{(n-x)!(k-n+x)!}{k!} k!(nx)!(kn+x)!种可能

通过这种转化,我们将求解概率变为了计数问题

那么我们应该考虑如何取出点了

对于一个子树T,|T|>k,对于这个子树,我们一定可以对这一棵子树进行操作

那么我们就可以统计子树大小大于k的个数

那么他的贡献就是T出现的概率我们设T出现的概率是 p ( T ) p(T) p(T),那么答案的总期望就是 ∑ s i z e T > k p ( T ) \sum_{size_T>k}p(T) sizeT>kp(T)

关于这个统计,使用树形DP求解总数即可

f [ x ] [ i ] [ j ] f[x][i][j] f[x][i][j]为为 x x x子树中选了包含 x x x 在内的 i i i 个点,有 j j j 个点与之相连的方案数,使用背包转移即可

[P3974 [TJOI2015] 组合数学]([P3974 TJOI2015] 组合数学 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

[TJOI2015] 组合数学

题目描述

为了提高智商,ZJY 开始学习组合数学。某一天她解决了这样一个问题:给一个网格图,其中某些格子有财宝。每次从左上角出发,只能往右或下走。问至少要走几次才可能把财宝全捡完。

但是她还不知足,想到了这个问题的一个变形:假设每个格子中有好多块财宝,而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝,其他条件不变,至少要走几次才可能把财宝全捡完?

这次她不会做了,你能帮帮她吗?

输入格式

第一行为一个正整数 t t t,表示数据组数。

每组数据的第一行是两个正整数 n n n m m m,表示这个网格图有 n n n m m m 列。

接下来 n n n 行,每行 m m m 个非负整数,表示这个格子中的财宝数量( 0 0 0 表示没有财宝)。

输出格式

对于每组数据,输出一个整数,表示至少走的次数。

样例 #1

样例输入 #1

1
3 3
0 1 5
5 0 0
1 0 0

样例输出 #1

10

提示

数据范围

对于 30 % 30\% 30% 的数据, n ≤ 5 n \le 5 n5 m ≤ 5 m \le 5 m5,每个格子中的财宝数不超过 5 5 5 块。

对于 50 % 50\% 50% 的数据, n ≤ 100 n \le 100 n100 m ≤ 100 m \le 100 m100,每个格子中的财宝数不超过 1000 1000 1000 块。

对于 100 % 100\% 100% 的数据, 1 ≤ t ≤ 2 1\le t\le 2 1t2 1 ≤ n ≤ 1000 1\le n \le 1000 1n1000 1 ≤ m ≤ 1000 1\le m \le 1000 1m1000,每个格子中的财宝不超过 1 0 6 10^6 106 块。

//2024.8.12
//by white_ice
//[TJOI2015] 组合数学 | P3974
#include<bits/stdc++.h>
//#include"need.cpp"
using namespace std;
#define itn long long
#define int long long
constexpr int oo = 1003;
itn n,m;itn st[oo][oo];
int f[oo][oo];
main(void){//fre();cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);itn t;cin >> t;
while (t--){memset(f,0,sizeof(f));cin >> n >> m;for (itn i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=m;j++)cin >> st[i][j];for (itn i=1;i<=n;i++)for (itn j=m;j>=1;j--){f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j+1]);f[i][j] = max(f[i-1][j+1]+st[i][j],f[i][j]);}cout << f[n][1] << '\n';
}cout << flush;exit (0);
}

我们使用,使用,使用了一段及其短小精悍的代码解决了这道题

这道题,就要使用我们上面提到的最小链覆盖&最长反链长度

我们不难发现,对于这个网格图,在上面移动就是构造一个链的过程

从一个方格出发,可以向下或向右移动

左右我们就是要求解从第一行第一列出发,移动到最后一列最后一行的最长链长度

这是我们就可以搬出这个:Dilworth 定理

最小链覆盖 = 最长反链长度

那么我们求解最长反链长度就好啦

我们如何求解呢?对于一个格子,什么地方不能成链呢?

当然是x,y坐标一个大于该格子一个小于该格子的时候啦)


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