【数据结构与算法 | 图篇】Bellman-Ford算法（单源最短路径算法）

1. 前言

前文的迪杰斯特拉算法不能求解有负边的图的最短路径的问题。而此文的Bellman-Ford可以处理含负权边的图算法，并且能检测出图中是否存在负环（权重和为负数的环）.

2. 基本思想

1. 初始化：

• 对于所有顶点 v ∈ V \ {s}（除了起点 s），设其到起点的距离为无穷大（表示不可达）。
• 起点 s 到自身的距离设为 0。

2. 松弛操作：

• 遍历图中的每条边 (u, v) ∈ E，执行松弛操作 `Relax(u, v, w)`。松弛操作尝试通过边 (u, v) 更新从起点 s 到顶点 v 的已知最短距离。
• 如果存在一条从起点 s 到顶点 u 的更短路径，并且这条路径加上边 (u, v) 的权重小于目前记录的从起点 s 到顶点 v 的距离，则更新顶点 v 的距离值。
• 这个过程需要重复进行 |V| - 1 次（V 是顶点集）。因为在没有负权环的情况下，任何从起点到某个顶点的最短路径最多包含 |V| - 1 条边。

3. 检查负权环：

•  在进行了 |V| - 1 轮松弛操作之后，再进行一轮松弛操作。如果在这个过程中仍然能够进一步减少某个顶点的距离值，那么说明图中存在一个可以被利用来无限降低路径成本的负权环。

3. 顶点类代码

public class Vertex {// 顶点的名字，用来区分顶点String name;// 与该顶点有关的边的集合List<Edge> edges;// 判断是否已经被遍历boolean visited = false;// 初始距离为无穷大int dist = INF;// INF表示无穷大final static int INF = Integer.MAX_VALUE;// 该顶点在最短路径中的前一个顶点Vertex prev = null;public Vertex(String name) {this.name = name;}public String getName() {return name;}
}

顶点图：

4. Bellman-Ford算法代码

public class BellmanFord {public static void main(String[] args) {Vertex v1 = new Vertex("1");Vertex v2 = new Vertex("2");Vertex v3 = new Vertex("3");Vertex v4 = new Vertex("4");v1.edges = new ArrayList<>();v1.edges.add(new Edge(v2, 2));v1.edges.add(new Edge(v3, 1));v2.edges = new ArrayList<>();v2.edges.add(new Edge(v3, -2));v3.edges = new ArrayList<>();v3.edges.add(new Edge(v4, 1));v4.edges = new ArrayList<>();List<Vertex> graph = new ArrayList<>();graph.add(v1);graph.add(v2);graph.add(v3);graph.add(v4);// v1作为起始点bellmanford(graph, v1);}public static void bellmanford(List<Vertex> graph, Vertex source){// 将起始点的距离设置为0，其余点的距离都是无穷大source.dist = 0;int size = graph.size();// 进行 顶点数-1 次处理for(int k = 0; k < size - 1; k++) {// 遍历所有的边for(Vertex v : graph){for(Edge e : v.edges){// 处理每条边if(v.dist != Integer.MAX_VALUE &&v.dist + e.weight < e.linked.dist){e.linked.dist = v.dist + e.weight;e.linked.prev = v;}}}}for(Vertex v : graph){System.out.println("v" + v.name + "  " + v.dist);}}
}

打印的结果：

v1  0
v2  2
v3  0
v4  1