动态规划-不同的子序列

题目描述

给你两个字符串 s 和 t ，统计并返回在 s 的 子序列 中 t 出现的个数，结果需要对 109 + 7 取模。

示例：

输入：s = "babgbag", t = "bag"

输出：5

解释：

如下所示, 有 5 种可以从 s 中得到 "bag" 的方案。

babgbag

babgbag

babgbag

babgbag

babgbag

为了解决这个问题，我们首先需要理解题目中的关键概念：“子序列”和“出现的个数”。子序列是指从原字符串中删除一些（或者不删除）字符而不改变剩余字符的相对顺序所得到的新字符串。例如，字符串 "abc" 的子序列包括 "a", "b", "c", "ab", "ac", "bc", "abc", ""（空字符串）等。

接下来，我们要计算在字符串 s 的所有子序列中，字符串 t 出现的次数。这可以通过动态规划（Dynamic Programming, DP）来有效地解决。

解题思路

我们可以使用二维数组 dp[i][j] 来表示状态，其中 dp[i][j] 表示 s 的前 i 个字符（即 s[0...i-1]）中包含 t 的前 j 个字符（即 t[0...j-1]）作为子序列的个数。注意这里的 i 和 j 都是从 1 开始的，方便处理边界情况。

1. 初始化：dp[0][j] = 0 对于所有的 j（因为空字符串不包含任何非空字符串的子序列），dp[i][0] = 1 对于所有的 i（因为任何字符串都包含空字符串作为子序列）。

2. 状态转移方程：

   • 如果 s[i-1] == t[j-1]，则有两种情况：
     • 包含当前字符 s[i-1] 作为 t[j-1] 的一部分：dp[i-1][j-1]
     • 不包含当前字符 s[i-1]：dp[i-1][j]
       因此，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]。
   • 如果 s[i-1] != t[j-1]，则只有一种情况：
     • 不包含当前字符 s[i-1]：dp[i-1][j]
       因此，dp[i][j] = dp[i-1][j]。

3. 结果：dp[n][m]，其中 n 和 m 分别是字符串 s 和 t 的长度。

怎样想到这样状态方程的？

一点个人经验，见过的很多2个串的题，大部分都是dp[i][j] 分别表示s串[0...i] 和t串[0...j]怎么怎么样然后都是观察s[i]和t[j]分等或者不等的情况 而且方程通常就是 dp[i-1][j-1] 要么+ 要么 || dp[i-1][j]类似的。

class Solution {
public:const int MOD = 1e9 + 7;int numDistinct(string s, string t) {int n = s.size();int m = t.size();vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(m+1, 0));//dp[i][j]: t[0~j]子串在 s[0~i]子序列中出现的个数for(int i=0;i<n;i++){           dp[i][0] = 1;//空字符串是任何字符串的子序列}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(j>i)continue;//无法在较小的字符串中出现更大的字符串if(s[i-1] == t[j-1]){dp[i][j] = (dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j])%MOD;}else{dp[i][j] = dp[i-1][j];}}} return dp[n][m];   }
};