【极限、数学】 NOIP 2018 提高组初赛试题 第 7 题详解（线段长度期望）

在一条长度为 $1$ 的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望长度是（ ）。

考虑将一个线段上平均分布有 $n(n\ge 2)$ 个节点，其中首尾均有一个节点，那么我们就将一个线段均分为 $n-1$ 份。

不妨令第一个点取在第 $i$ 个节点上，第二个点取在 $j$ 上。不妨令 $i\le j$，因为调换 $i,j$ 对题意没有任何影响（显而易见）。

对于 $i,j$，我们共有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 种取法。

假设 $i=1$,则对于 $j$，长度总和为 $\frac{(n-1)n}{2(n-1)}$

同理对于 $i=2$，则总和为： $\frac{(n-2)(n-1)}{2(n-1)}$。

因此对于所有 $i$，总和为： $\frac{0\times 1+1\times 2+\cdots +(n-1)n}{2(n-1)}$

证明：对于任意正整数 $N$，有 ${\sum }_{i=1}^{N}i(i+1)=\frac{N(N+1)(N+2)}{3}$。

考虑数学归纳法，对于 $N=1$ 显而易见等式成立。若 $N$ 时成立，则对于 $N+1$，有 ${\sum }_{i=1}^{N+1}i(i+1)=\frac{N(N+1)(N+2)}{3}+(N+1)(N+2)=\frac{(N+1)(N+2)(N+3)}{3}$，因此如果当 $N$ 成立，$N+1$ 时等式也成立，得证。

因此原式= $\frac{(n-1)n(n+1)}{6(n-1)}=\frac{n(n+1)}{6}$

所以期望值：$\frac{\frac{n(n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{1}{3}$

原题即为：当 $n$ 接近正无穷大时的期望值，显而易见也是 $\frac{1}{3}$。