高等数学 2.3 高阶导数

一般地，函数 $y=f(x)$ 的导数 $y{}^{\prime }=f{}^{\prime }(x)$ 仍然是 $x$ 的函数。我们把 $y{}^{\prime }=f{}^{\prime }(x)$ 的导数叫做函数 $y=f(x)$ 的二阶导数，记作 $y{}^{\prime \prime }$ 或 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$ ，即
$$y^{\prime \prime }=(y^{\prime }{)}^{\prime }或\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)$$
相应地，把 $y=f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)$ 叫做函数 $y=f(x)$ 的一阶导数。

类似的，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数 $\cdots \cdots$ 一般地，$(n-1)$ 阶导数的导数叫做 $n$ 阶导数，分别记作
$$y^{\prime \prime \prime },y^{(4)},\cdots ,y^{(n)}$$
或
$$\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{x}^3},\frac{{\mathrm{d}}^{4}y}{\mathrm{d}{x}^4},\cdots ,\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{x}^n}.$$

函数 $y=f(x)$ 具有 $n$ 阶导数，也常说成函数 $y=f(x)$ 为 $n$ 阶可导。如果函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处具有 $n$ 阶导数，那么 $y=f(x)$ 在点 $x$ 的某一去心邻域内必定具有一切低于 $n$ 阶的导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

例 求正弦函数与余弦函数的 $n$ 阶导数。
解：
$$\begin{array}{rl}y& =\sin x,\\ y^{\prime }& =\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right),\\ y^{\prime \prime }& =\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(x+2\cdot \frac{\pi }{2}\right),\\ y^{\prime \prime \prime }& =\cos \left(x+2\cdot \frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(x+3\cdot \frac{\pi }{2}\right),\\ y^{(4)}& =\cos \left(x+3\cdot \frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(x+4\cdot \frac{\pi }{2}\right),\end{array}$$
一般地，可得
$$y^{(n)}=\sin \left(x+n\cdot \frac{\pi }{2}\right),$$
即
$$(\sin x{)}^{(n)}=\sin \left(x+n\cdot \frac{\pi }{2}\right)$$
用类似方法，可得
$$(\cos x{)}^{(n)}=\cos \left(x+n\cdot \frac{\pi }{2}\right)$$

例 求函数 $y=\ln (1+x)$ 的 $n$ 阶导数。
解：$y^{\prime }=\frac{1}{1+x}$ , $y^{\prime \prime }=-\frac{1}{(1+x{)}^2}$ , $y^{\prime \prime \prime }=\frac{1\cdot 2}{(1+x{)}^3}$ , $y^{(4)}=-\frac{1\cdot 2\cdot 3}{(1+x{)}^4}$ ,
一般地，可得
$$y^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x{)}^n},$$
即
$$[\ln (1+x){]}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x{)}^n}$$
通常规定 $0!=1$ ，所以这个公式当 $n=1$ 时也成立。

例 求幂函数的 $n$ 阶导数公式。
解：设 $y=x^{\mu }(\mu 是任意常数)$ ，那么
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\mu x^{\mu -1},\\ y^{\prime \prime }& =\mu (\mu -1)x^{\mu -2},\\ y^{\prime \prime \prime }& =\mu (\mu -1)(\mu -2)x^{\mu -3},\\ y^{(4)}& =\mu (\mu -1)(\mu -2)(\mu -3)x^{\mu -4},\end{array}$$
一般地，可得
$$y^{(n)}=\mu (\mu -1)(\mu -2)\cdots (\mu -n+1)x^{\mu -n},$$
即
$$(x^{\mu }{)}^{(n)}=\mu (\mu -1)(\mu -2)\cdots (\mu -n+1)x^{\mu -n}.$$
当 $\mu =n$ 时，得到
$$(x^n{)}^{(n)}=n(n-1)(n-2)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1=n!,$$
而
$$(x^n{)}^{(n+k)}=0(k=1,2,\cdots ).$$

如果函数 $u=u(x)$ 及 $v=v(x)$ 都在点 $x$ 处具有 $n$ 阶导数，那么显然 $u(x)\pm v(x)$ 也在点 $x$ 处具有 $n$ 阶导数，且
$$(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}.$$
但乘积 $u(x)v(x)$ 的 $n$ 阶导数不简单。由
$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$
首先得出
$$\begin{array}{rl}(uv{)}^{\prime \prime }& =u^{\prime \prime }v+2u^{\prime }{v}^{\prime }+u{v}^{\prime \prime },\\ (uv{)}^{\prime \prime \prime }& =u^{\prime \prime \prime }v+3u^{\prime \prime }{v}^{\prime }+3u^{\prime }{v}^{\prime \prime }+u{v}^{\prime \prime \prime }.\end{array}$$
用数学归纳法可以证明
$$(uv{)}^{(n)}=u^{(n)}v+n{u}^{(n-1)}{v}^{\prime }+\frac{n(n-1)}{2!}{u}^{(n-2)}{v}^{\prime \prime }+\cdots +\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}+\cdots +u{v}^{(n)}.$$
上式称为莱布尼茨（Leibniz）公式。按二项式定理展开写成
$$(u+v{)}^n=u^n{v}^0+n{u}^{n-1}{v}^1+\frac{n(n-1)}{2!}{u}^{n-2}{v}^2+\cdots +u^0{v}^n,$$
即
$$(u+v{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{n-k}{v}^k,$$
把 $k$ 次幂换成 $k$ 阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的 $u+v$ 换成 $uv$ ，这样就得到
$$(uv{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}.$$

例 设 $y=x^2{\mathrm{e}}^{2x}$ ，求 $y^{(20)}$ 。
解：设 $u={\mathrm{e}}^{2x}$ ， $v=x^2$ ，则
$$\begin{gathered} u^{(k)}=2^k{\mathrm{e}}^{2x}(k=1,2,\cdots ,20), \\ {v}^{\prime }=2x,v^{\prime \prime }=2,v^{(k)}=0(k=3,4,\cdots ,20), \end{gathered}$$
代入莱布尼茨公式，得
$$\begin{array}{rl}{y}^{(20)}& =(x^2{\mathrm{e}}^{2x}{)}^{(20)}\\ & =2^{20}{\mathrm{e}}^{2x}\cdot x^2+20\cdot 2^{19}{\mathrm{e}}^{2x}\cdot 2x+\frac{20\cdot 19}{2!}{2}^{18}{\mathrm{e}}^{2x}\cdot 2\\ & =2^{20}{\mathrm{e}}^{2x}(x^2+20x+95)\end{array}$$

原文链接：高等数学 2.3 高阶导数