【machine learning-七-线性回归之成本函数】

在线性回归中，我们说到评估模型训练中好坏的一个方法，是用成本函数来衡量，下面来详细介绍一下

成本函数

权重、偏置

在线性回归（ https://blog.csdn.net/zishuijing_dd/article/details/142131936?spm=1001.2014.3001.5501）一节中，我们要实现的线性模型就是要找出输入x和y的映射关系，这种映射关系可以被表示为y = wx + b，其中需要被确定的两个值，w被称做权重，b被称做偏置。

假设样本数据和拟合的直线如下图：

那么w实际是斜率，b就是截距。样本中的数据用(x⁽ⁱ⁾,y⁽ⁱ⁾)表示，样本中的y值是真实值，通常用y_label标记，而拟合的y = wx + b 线性模型，输入x⁽ⁱ⁾计算得出的y_predict 被称为预测值。
训练的目标就是让y_predict更接近于y_label，也就是称为更拟合。

如何实现拟合数据

方法就是使用成本函数，这是一种评估y_predict和y_label的差值（误差）的方法，通常用的成本函数是样本数据误差的平方和，也就是（y_predict-y_label）²的和，当然为了防止误差无限变大，我们使用均值，也就是再除上样本个数，整体的公式如下：

注意一下，这个除了2倍的样本数，主要是为了后面计算简单，y_predict是函数f（w,b）的输出，所以公式最终成了上述样式。
这个误差计算方式就叫做均方误差成本函数。
所以实际上我们训练函数的目标就是，寻找合适的w和b，让这个成本函数的值更小

不同的应用经常会选用不同的成本函数，但是平方误差几乎是线性回归的必选，在很多应用上的效果都不错。

成本函数是如何寻找出来w和b，使成本函数值最小化？

为了简化计算，以下面情况为例：
假设样本数据为（1，1），（2，2），（3，3）
偏置b 为0
我们的回归函数就是关于输入x的一个函数，所以它的横轴是x，如下图所示：

当w取不同值的时候，我们来计算成本函数：
注意一点J是关于w的函数，当w 为1的时候，按照公式计算成本函数J：

通过计算，我们知道当w为1的时候，成本函数的结果为0
然后我们依次计算w为0.5，1.5等的时候，成本函数的结果，然后可视化画出成本函数的线：

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通过对成本函数的观察，我们会找到一些w，使得成本函数尽量的小。这些w就是最终的w。
至此我们就找到了合适的w，当然b也是同样的方式。