线性代数——行列式

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本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。

排列

由$1,2,\dots ,n$组成的有序数组称为一个$n$阶排列，通常使用$j_1{j}_2\dots j_n$表示$n$阶排列。例如：
$$j_1{j}_2{j}_3{j}_4=9527$$
在排列中，如果一个大的数排在了一个小的数前面，就称这两个数构成了一个逆序。一个排列逆序的总数称为这个排列的逆序数。通常用$\tau (j_1{j}_2\dots j_n)$表示排列$j_1{j}_2\dots j_n$的逆序数。例如：
$$\tau (9527)=4$$

• 如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列是偶排列。
• 如果一个排列的逆序数是奇数，则称这个排列是奇排列。

对换是指交换排列中任意两个元素的位置。

• 如果对一个排列进行奇数次对换那么将改变排列的奇偶性。
• 如果对一个排列进行偶数次对换那么将不会改变排列的奇偶性。

一个$n$阶排列经过对换可以得到$n!$个不同的排列，并且在这$n!$个不同的排列中，奇偶排列各占一半。

行列式

行列式的由来

现有一二元一次方程组：
$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1(1)\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2(2)\end{array}$$
欲求$x$，由$(1)\times b_2-(2)\times b_1$得：
$$(a_1{b}_2-a_2{b}_1)x=c_1{b}_2-c_2{b}_1$$
在研究方程组求解的过程中数学家发现两个数相乘减两个数相乘是回避不掉的，于是数学家将这一过程单独提炼出来并写成以下形式：
$$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|x=\left|\begin{array}{cc}{c}_1& b_1\\ c_2& b_2\end{array}\right|$$
当
$$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=a_1{b}_2-a_2{b}_1\ne 0$$
时$x$有唯一解：
$$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}{c}_1& b_1\\ c_2& b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|}$$
那么就将$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$这种形式的数称为行列式。

行列式的概念

行列式是不同行不同列$n$个元素乘积的代数和：

$$|A|=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}& \\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}& \\ ⋮& ⋮& & ⋮& \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}& \end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2\dots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\dots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\dots a_{n{j}_n}$$
这个式子称为行列式$|A|$的$n$阶完全展开式，共有$n!$项。

• 对于二阶三阶行列式有对角线法则：
  • 2阶行列式：$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$
  • 3阶行列式：
    $$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|=a_1{b}_2{c}_3+a_2{b}_3{c}_1+a_3{b}_1{c}_2-a_3{b}_2{c}_1-a_2{b}_1{c}_3-a_1{b}_3{c}_2$$
• 行列式的转置：转置是指将行列式的行和列互换。行列式$|A|$的转置行列式记为$|A^T|$。
• 余子式和代数余子式：将行列式的第$i$行和第$j$列去掉，那么剩下的行列式就是$a_{ij}$的余子式，记为$M_{ij}$，并记$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式。

行列式的性质

• 经转置行列式的值不变，即$|A^T|=|A|$
• 某行有公因式$k$，可把公因式$k$提到行列式外。
  $$\left|\begin{array}{ccccc}\dots & \dots & \dots & \dots & \\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \dots & k{a}_{in}& \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \end{array}\right|=k\left|\begin{array}{ccccc}\dots & \dots & \dots & \dots & \\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}& \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \end{array}\right|$$
  特别的：某行元素全为零，则行列式为$0$。
• 对换行列式某两行的位置，行列式变号。特别的：
  • 两行相等，行列式为$0$，即$|A|=-|A|,|A|=0$
  • 两行成比例，行列式为$0$，即$k|A|=-k|A|,|A|=0$
• 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和。$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1+b_1& a_2+b_2& a_3+b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|$$
• 行列式某行的$k$倍加至另一行，行列式不变。
  $$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1+k{b}_1& a_2+k{b}_2& a_3+k{b}_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$$
• 按行按列展开式：
  • 按$i$行展开：$$|A|=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\dots +a_{in}{A}_{in}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$
  • 按$j$列展开：$$|A|=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\dots +a_{nj}{A}_{nj}=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$
• 某一行（列）的所有元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于$0$：
  $$a_{11}{A}_{31}+a_{12}{A}_{32}+a_{13}{A}_{33}=0$$
  证明：已知
  $$|A|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$$
  构造以下行列式：
  $$|B|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{11}& a_{12}& a_{13}\end{array}\right|=0=a_{11}{A}_{31}+a_{12}{A}_{32}+a_{13}{A}_{33}$$
  因为$|B|$的$A_{31}$，$A_{32}$，$A_{33}$和$|A|$的相等，所以：
  $$a_{11}{A}_{31}+a_{12}{A}_{32}+a_{13}{A}_{33}=0$$

重要公式

• 上（下）三角行列式的值：$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \dots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\dots a_{nn}$$
• 副对角线行列式的值：$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& 0& \dots & 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& \dots & 0& a_{1n}\\ 0& \dots & a_{2(n-1)}& a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{n(n-1)}& a_{nn}\end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2(n-1)}\dots a_{n1}$$
• 范德蒙行列式：
  $$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ a_1& a_2& \dots & a_n\\ a_1^2& a_2^2& \dots & a_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& \dots & a_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1\le j<i\le n}(a_i-a_j)$$
  证明：假设$n-1$时，$|A_{n-1}|={\prod }_{1\le j<i\le n-1}(a_i-a_j)$成立，对于$n$阶行列式$|A_n|$，将上一行的的$-a_1$倍加到下一行，由$n-1$行开始，得
  $$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ 0& a_2-a_1& \dots & a_n-a_1\\ 0& a_2^2-a_1{a}_2& \dots & a_n^2-a_1{a}_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& a_2^{n-1}-a_1{a}_2^{n-2}& \dots & a_n^{n-1}-a_n{a}_n^{n-2}\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cccc}{a}_2-a_1& a_3-a_1& \dots & a_n-a_1\\ a_2(a_2-a_1)& a_3(a_3-a_1)& \dots & a_n(a_n-a_1)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_2^{n-1}(a_2-a_1)& a_3^{n-1}(a_3-a_1)& \dots & a_n^{n-1}(a_n-a_1)\end{array}\right| \\ =(a_2-a_1)(a_3-a_1)\dots (a_n-a_1)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\\ a_1& a_2& \dots & a_n\\ a_1^2& a_2^2& \dots & a_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_1^{n-2}& a_2^{n-2}& \dots & a_n^{n-2}\end{array}\right| \\ =(a_2-a_1)(a_3-a_1)\dots (a_n-a_1)\prod _{1\le j<i\le n-1}(a_i-a_j) \\ =\prod _{1\le j<i\le n}(a_i-a_j) \end{gathered}$$
• 拉普拉斯展开式：
  $$\left|\begin{array}{cc}{A}_m& \ast \\ O& B_n\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{A}_m& O\\ \ast & B_n\end{array}\right|=|A_m|\ast |B_n|$$ $$\left|\begin{array}{cc}O& A_m\\ B_n& \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\ast & A_m\\ B_n& O\end{array}\right|=(-1{)}^{nm}|A_m|\ast |B_n|$$
• 特征多项式：设$A=(a_{ij})$是$3$阶矩阵，则$A$的特征多项式$$\left|\begin{array}{c}\lambda E-A\end{array}\right|={\lambda }^3-(a_{11}+a_{22}+a_{33}){\lambda }^2+s_2\lambda -|A|$$其中$$s_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{22}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$$

克拉默法则

若$n$个未知数、$n$个方程的线性方程组：$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$的系数行列式：$$D=|A|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|\ne 0$$则方程组有唯一解：$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\dots ,x_n=\frac{D_n}{D}$$其中$$D_j=\sum _{i=1}^n{b}_i{A}_{ij}=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & a_{2,j-1}& b_2& a_{2,j+1}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{n,j-1}& b_1& a_{n,j+1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|(j=1,2,\dots ,n)$$
若齐次方程组：$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=0\end{array}$$的系数行列式$D\ne 0$，则方程组只有零解。若有非零解，则系数行列式$D=0$。

补充知识

• $$\sum _{i=1}^{n}k{a}_i=k\sum _{i=1}^n{a}_i$$
• $$\sum _{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum _{i=1}^n{a}_i+\sum _{i=1}^n{b}_i$$
• $$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{a}_{ij}$$