线性判别分析（LDA）中计算两个类的中心点在投影方向w上的投影示例

通过一个具体的例子，详细说明 $w^T{\mu }_0$ 和 $w^T{\mu }_1$ 如何表示两个类的中心点在投影方向 $w$ 上的投影。

假设：

我们有两个类的数据集，均值向量 ${\mu }_0$ 和 ${\mu }_1$，以及投影方向（权重向量） $w$ 如下：

• 类 0 的均值向量 ${\mu }_0=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$
• 类 1 的均值向量 ${\mu }_1=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right]$
• 投影方向 $w=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

我们将分别计算类 0 和类 1 的中心点在投影方向 $w$ 上的投影。

1. 计算类 0 的中心点在投影方向 $w$ 上的投影 $w^T{\mu }_0$：

$$w^T{\mu }_0=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$$
我们进行矩阵乘法：
$$w^T{\mu }_0=1\times 2+2\times 3=2+6=8$$
因此，类 0 的中心点在投影方向 $w$ 上的投影为 8。

2. 计算类 1 的中心点在投影方向 $w$ 上的投影 $w^T{\mu }_1$：

$$w^T{\mu }_1=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right]$$
我们进行矩阵乘法：
$$w^T{\mu }_1=1\times 4+2\times 5=4+10=14$$
因此，类 1 的中心点在投影方向 $w$ 上的投影为 14。

解释：

• 类 0 的中心点在投影方向 $w$ 上的投影结果是 8。
• 类 1 的中心点在投影方向 $w$ 上的投影结果是 14。

这两个投影值表示类 0 和类 1 在方向 $w$ 上的中心点位置。通过将每个类的均值向量投影到 $w$ 上，我们得到了两个类的中心点在一维空间的表示。LDA 的目标就是通过选择最佳的投影方向 $w$，使得这两个投影值的差异最大化，即类间差距增大。

总结：

在这个例子中，类 0 的中心点在投影方向上的值为 8，类 1 的中心点在投影方向上的值为 14。这两个投影值可以用来衡量类之间的差距，LDA 的目标就是找到一个最优的 $w$，使得这两个值之间的差距最大化，同时最小化类内散度。