2024ICPC网络赛第一场C. Permutation Counting 4（线性代数）

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题目大意：给你n个范围[$l_i,r_i$]，每个位置可以在这个范围中选择一个数，然后形成排列1到n的排列p。问p的所有情况的个数的奇偶性。

一个很妙的行列式转化，纯纯的线性代数。
首先，我们把p的总数表示出来。设矩阵$a_{i,j}$，表示的是第$i个$位置的是否可以表示$j$。则p的所有可能为$\sum _p\underset{i=1}{\overset{n}{\Pi }}{a}_{i,Pi}$
其中p表示所有排列方式的总和。发现这是近似于矩阵a的行列式的值，不过去掉了其正负号。（在取模2的影响下，综合的加减没有影响）也就是说，只要我们求矩阵$a$的行列式的值$mod2$，就可以解出最终解。
根据矩阵的性质，矩阵的行列式$mod2$为$0$，等价于该矩阵$mod2$下不可逆，也等价于该矩阵$mod2$下的每一行的向量存在线性相关，也就是存在其中一个向量可以被其它向量表示。

至此，我们终于该题从看不懂的样子转化成了看起来像人话的子问题了。让我们解决这个子问题。每一个位置的向量[$l_i,r_i$]我们可以通过$r_i-(l_i-1)$表示，然后通过并查集判断出该向量能否通过其它向量表示。

int n,m;int pre[1000005];int find (int x){if(pre[x]==x)return x;else return pre[x]=find(pre[x]);
}void icealsoheat(){cin>>n;for(int i=0;i<=n;i++)pre[i]=i;int ans=1;for(int i=1;i<=n;i++){int l,r;cin>>l>>r;l=find(l-1);r=find(r);if(l==r){ans=0;// break;}else{pre[l]=r;}}cout<<ans<<"\n";}