c++（AVL树及其实现）

一、AVL树的概念

AVL树是最先发明的自平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的

左右子树都是AV树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗高度平衡搜索⼆叉树，

通过控制高度差去控制平衡。

AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962

年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

AVL树实现这里我们引入⼀个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，任何

结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，

AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，

就像⼀个风向标⼀样。

思考⼀下为什么AVL树是高度平衡搜索⼆叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更

好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。⽐

如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法作为高度差是0

AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，高度可以控制在 ，那么增删查改的效率也可

以控制在 ，相比⼆叉搜索树有了本质的提升。

二、AVL树的实现

1、AVL树的结构

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
private:Node * _root = nullptr;
};

2、插入

1. 插入一个值按⼆叉搜索树规则进行插入。

2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新

从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可

以停止了，具体情况我们下面再详细分析。

3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束

4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树

的高度，不会再影响上⼀层，所以插入结束。

3、平衡因子更新

更新原则：

平衡因子 = 右子树高度-左子树高度

只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。

插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在

parent的左子树，parent平衡因子–

parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件：

更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前

parent子树⼀边高⼀边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会

影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。

更新后parent的平衡因子等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1 或者 0->-1，说

明更新前parent子树两边⼀样高，新增的插入结点后，parent所在的子树⼀边高⼀边低，parent所

在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响arent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上

更新。

更新后parent的平衡因子等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2 或者 -1->-2，说

明更新前parent子树⼀边高⼀边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高

了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把

parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不

需要继续往上更新，插入结束。

更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理

更新到中间结点，3为根的子树高度不变，不会影响上⼀层，更新结束

最坏更新到根停⽌

bool Insert(const pair<K, V>& kv){//插入if (_root == nullptr){_root == new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv->first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv->first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv->first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}//更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++；if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){//选转break;}}}

4、旋转

a、右单旋

本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要

求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，

是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/

图5进行了详细描述。

在a子树中插入⼀个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平

衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要

往右边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核心步骤，因为5 < b子树的值 < 10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新

的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原

则。如果插入之前10整棵树的⼀个局部子树，旋转后不会再影响上⼀层，插入结束了。

代码：

void RotateR(Node* parent)
{Node* Pparent = parent->_parent;Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;// 需要注意除了要修改孩子指针指向，还是修改父亲if (subLR)//防止对空指针解引用 subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (Pparent == nullptr)//parent是根时{_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}//更新平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

b、左单旋

本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要

求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树，

是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类

似。

在a子树中插入⼀个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平

衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往

左边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核心步骤，因为10 < b子树的值 < 15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵

树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转

原则。如果插入之前10整棵树的⼀个局部子树，旋转后不会再影响上⼀层，插入结束了。

代码：

void RotateL(Node* parent)
{Node* Pparent = parent->_parent;Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subL->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (Pparent == nullptr)//parent是根时{_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

c、左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变

成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边

高，但是插入在b子树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边

高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行⼀个左单旋，以10为旋转点进行⼀个右单旋，这棵树

这棵树就平衡了

图7和图8分别为左右双旋中h=0和h=1具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL

子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为

我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置

不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，

引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。

场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引

发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。

场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋

转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;//根据subLR的平衡因子判断RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1)parent->_bf = 1;{subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

d、右左双旋

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c子树抽象为⾼度h的AVL子树进⾏分析，另外我们需要把b子树的

细节进⼀步展开为12和左子树⾼度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单

旋，右单旋需要动b树中的右子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通

过观察12的平衡因子不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e子树，e子树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因

子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。

场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f子树，f子树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，

引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。•

场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋

转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

三、整体代码

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){//插入if (_root == nullptr){_root == new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv->first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv->first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}// 链接父亲cur->_parent = parent;if (parent->_kv->first > kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}//更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++；if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){//选转if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else{RotateRL(parent);}break;}}}void RotateR(Node* parent){Node* Pparent = parent->_parent;Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;// 需要注意除了要修改孩⼦指针指向，还是修改⽗亲if (subLR)//防止对空指针解引用 subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (Pparent == nullptr)//parent是根时{_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}//更新平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;}void RotateL(Node* parent){Node* Pparent = parent->_parent;Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subL->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (Pparent == nullptr)//parent是根时{_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;//根据subLR的平衡因子判断RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1)parent->_bf = 1;{subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}
private:Node * _root = nullptr;
};