BCJR算法——卷积码的最大后验译码

定义：输入序列为

其中每比特，同时相应的输出序列为

其中每一码字的长度为n，定义在i时刻的编码器的状态为，对于时刻里有

表示输出码字和卷积码第i时刻的输入和第i-1时刻的状态有关（包括寄存器和输出部分），

表示状态转变和输入的关系。

编码器的的状态表示一系列在一个状态集合。

假设接收端接收到的为,第i时刻的输入根据最大后验准则：

表示一个状态对，每个状态对应一个或者，把所有输入对应的状态对记为，同理。最后一个等号表示输入为​​输入的每个比特转换成所有的状态对来描述。

定义：

接收序列重写为

对于后验概率求和中的一项有

前三个等号是有条件概率公式，最后一个等号是有Trellis图的马尔科夫性质。

定义：

由此可以将上述式子重写为：

MAP的结果重写为

的前向递归性

即可以由之前的时刻的表示。

第三个等号利用马尔科夫性质。

假设初始时刻的输入为全0状态，则有：

的后向递归性

即可以由之后的结果递归计算得到。

证明

第一个等号为全概率公式，第三个等号为马尔科夫性质。

假设Trellis图最后停止在全零状态。

的计算

对应输出码字，同时在i-1时刻状态为的条件下第i时刻状态为的概率等效与第i时刻的输入为的概率。

定义L值（最大后验准则度量）：

判决准则：

在AWGN信道，的计算如下

例子：

BPSK，码字，接受矢量s代表系统位，p代表校验位， 和 对应的输出值

是和最大后验中的无关项（计算L值的时候会被消掉）。

L值的计算

系统位直接对应输入码字，校验位要根据具体卷积译码器