KKT实际运用 -MATLAB

• FMINCON函数可以很方便的求出：
• fun：目标函数，即需要最小化的函数，输入参数为向量x，输出为标量f(x)。
• x0：初始点，即求解过程的起始点，可以是标量、向量或矩阵。
• A和b：线性不等式约束的系数矩阵和向量，满足A*x <= b。
• Aeq和beq：线性等式约束的系数矩阵和向量，满足Aeq*x = beq。
• lb和ub：变量的下界和上界向量，满足lb <= x <= ub。
• nonlcon：非线性约束函数（可选），定义非线性不等式c(x) <= 0和非线性等式ceq(x) = 0。
• options：优化选项（可选），用于控制求解过程的参数，如算法选择、容差设置等。

% 项目名称：KKT实际运用  
% 更新时间：2024/09/25 
% 背景：（Karush-Kuhn-Tucker方法）是一种用于求解约束优化问题的数学方法，该方法的核心思想是通过引入拉格朗日乘子和对偶性理论，将约束优化问题转化为无约束优化问题，从而简化求解过程。 
% 作者：月白风清江有声  % 定义目标函数  
fun = @(x) 4*x(1) - 3*x(2); % 假设我们要最小化的目标函数  % 初始点  
x0 = [0, 0];  % 线性不等式约束 A*x <= b  
A = [1, 1;  0, -1];  
b = [4;  7];  % 线性等式约束（这里没有，所以留空）  
Aeq = [];  
beq = [];  % 定义非线性不等式约束函数  
% 注意：这个函数返回的是非线性不等式的原始表达式值，但fmincon会尝试最小化它  
% 对于 -(x1-3)^2 + x2 + 1 >= 0，我们直接返回其表达式值  
% 因为fmincon会尝试找到使这些值尽可能小的x，从而满足原不等式  
% 定义非线性不等式约束函数  
% 直接返回不等式约束的表达式值和空向量  
%deal 函数用于同时返回两个值。第一个值是原不等式约束的表达式值，第二个值是一个空向量 []，表示没有非线性等式约束。
nonlincon = @(x) deal((x(1)-3)^2 - x(2) - 1, []);
% 调用fmincon  
options = optimoptions('fmincon','Algorithm','sqp'); % 设置算法为SQP  
[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, [], [], nonlincon, options);  
% 显示结果  
disp('最优解 x:');  
disp(x);  
disp('目标函数值 fval:');  
disp(fval);% 第二个优化问题  % 定义目标函数（注意这里使用了三个变量）  
fun_bar = @(x_bar) -3*x_bar(1)^2 - x_bar(2)^2 - 2*x_bar(3)^2;  % 初始点（现在是三维的）  
x0_bar = [1, 1, 1];   % 线性不等式约束 A_bar*x_bar <= b_bar  A_bar = [1, -1, 0;  -1, 0, 0;  0, -1, 0;  0, 0, -1];  
b_bar = [0; 0; 0; 0];  Aeq_bar = [];  
beq_bar = [];  nonlincon_bar = @(x_bar) deal([], (x_bar(1)^2 + x_bar(2))^2 + x_bar(3)^2 - 3);  
% 调用fmincon  
options_bar = optimoptions('fmincon','Algorithm','sqp'); % 设置算法为SQP  
[x_bar, fval_bar] = fmincon(fun_bar, x0_bar, A_bar, b_bar, Aeq_bar, beq_bar, [], [], nonlincon_bar, options_bar);  % 显示结果  
disp('第二个优化问题的最优解 x_bar:');  
disp(x_bar);  
disp('第二个优化问题的目标函数值 fval_bar:');  
disp(fval_bar);