每日一题|983. 最低票价|动态规划、记忆化递归

本题求解最小值，思路是动态规划，但是遇到的问题是：动态规划更新的顺序和步长，以及可能存在的递归溢出问题。

1、确定dp数组含义

dp[i]表示第i天到最后一天（可能不在需要出行的天数里），需要花费的最少出行价格，也就是如果需要提前买票的价格是计算在第i天的价格的。

2、确定递推公式

对于当前的dp[i]，有3种可选的方案：1天、7天、30天，分别代表了更新后的dp位置。

dp[i] = min(dp[i + 1] + cost[0], dp[i + 7] + cost[1], dp[i + 30] + cost[2]) 

3、确定遍历顺序

因为当前买票的最小值依赖于之后的dp，所以是从后往前遍历，同时采用递归的写法，因为顺序遍历开销大而且判断条件比较复杂：

3.1确定终止条件：超出了365天的限制

if i > 365: return 0

3.2如果在days内的更新

return dp(i) = min(dp(i + 1) + cost[0], dp(i + 7) + cost[1], dp(i + 30) + cost[2]) 

3.3如果不在days内的更新

return dp(i+1)

4、确定初始化

初始化dp数组为0即可，长度为366，和days的索引保持一致。

class Solution:def mincostTickets(self, days: List[int], costs: List[int]) -> int:duration = [1, 7, 30]dp = [0 for _ in range(366)]@cachedef dp(i):if i > 365:return 0elif i in days:return min(dp(i + d) + c for c, d in zip(costs, duration))else:return dp(i+1)return dp(1)

这里使用了Python3的@cache装饰特性，用来储存递归的新数据节省时间开销。

对于python2、java可以使用memo = {}记忆化字典来储存每一个dp，如果是新的就储存，见过的直接返回。