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选读算法导论5.2 指示器随机变量

news 2025/12/16 23:49:33

为了分析包括包括雇佣分析在内的许多算法，我们将使用指示器随机变量，它为概率和期望之间的转换提供了一个便利的方法，给定一个样本空间S和事件A，那么事件A对应的指示器随机变量：

Xa = 1 如果A发生
　　 0 如果A没有发生

E[Xa] = Pr{A}

1.指示器随机变量将所求的随机变量X分解成了许多单个的事件，对于每一个事件一一的求期望，加起来即可。

2.注意随机变量指示器怎么用，实际上就是将求一个随机变量的期望，分解到一个个具体的事件，每一个小事件的期望往往容易求，所有小事件的期望加起来就是总得期望。其实是从另一个角度看问题。

转载于dianlu7964的算法导论5.2 指示器随机变量

下面我通过列举题目通过运用这种方法来更快理解

Bubble Sort - 洛谷

给定n，求所有[1,n]排列中逆序对个数的平均值，以分数形式输出。

还可以转化题意为期望逆序对个数是多少?

单个事件就是单独一个对是逆序对 $Pi=\frac{1}{2}$

$E=\sum Ei$

那么总共有几个呢，应该是 $\binom{n}{2}$

$E=\binom{n}{2}*\frac{1}{2}=\frac{n*(n-1)}{4}$

Game on Tree - 洛谷

给定一棵有根树，结点编号从 11 到 nn。根结点为 11 号结点。

对于每一次操作，等概率的选择一个尚未被删去的结点并将它及其子树全部删去。当所有结点被删除之后，游戏结束；也就是说，删除 11 号结点后游戏即结束。

要求求出删除所有结点的期望操作次数。

单个事件选择i节点可以直接删除树，因为选了祖先节点就不会选i节点了，因此我们选i节点要比祖先节点先选，这个概率是 $Pi=\frac{1}{depth i}$

即 $E=\sum \frac{1}{depthi}$

[国家集训队] 单选错位 - 洛谷

lc的期望就很明显是这种方法求得，每个道题对的概率是 $Pi=\frac{1}{ai}$ ,那么 $E=\sum \frac{1}{ai}$

gx的期望只是多了一个限制条件 ai,ai+1的关系

1. $ans[i]=ans[i+1]$ $Pi=\frac{1}{ai}$

2. $ans[i]>ans[i+1]$

gx可以答对的部分只能是 $\frac{ai+1}{ai}$ ,概率为 $Pi=\frac{ai+1}{ai}*\frac{1}{ai+1}=\frac{1}{ai}$

3. $ans[i]<ans[i+1]$

gx可以答对的部分只能是 $\frac{ai}{ai+1}$ ,概率为 $Pi=\frac{ai}{ai+1}*\frac{1}{ai}=\frac{1}{ai+1}$

因此 $Pi=\frac{1}{max(ai,ai+1)}$ ，即 $E=\sum \frac{1}{max(ai,ai+1)}$

未完待续

选读算法导论5.2 指示器随机变量

为了分析包括包括雇佣分析在内的许多算法，我们将使用指示器随机变量，它为概率和期望之间的转换提供了一个便利的方法，给定一个样本空间S和事件A，那么事件A对应的指示器随机变量： Xa 1 如果A发生　　 0 如果…...

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