MATLAB中pcg函数用法

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语法

说明

示例

线性系统的迭代解

使用指定了预条件子的 pcg

提供初始估计值

使用函数句柄代替数值矩阵

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        pcg函数的功能是求解线性系统 - 预条件共轭梯度法。

语法

x = pcg(A,b)
x = pcg(A,b,tol)
x = pcg(A,b,tol,maxit)
x = pcg(A,b,tol,maxit,M)
x = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2)
x = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = pcg(___)
[x,flag,relres] = pcg(___)
[x,flag,relres,iter] = pcg(___)
[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(___)

说明

        x = pcg(A,b) 尝试使用预条件共轭梯度法求解关于 x 的线性系统 A*x = b。如果尝试成功，pcg 会显示一条消息来确认收敛。如果 pcg 无法在达到最大迭代次数后收敛或出于任何原因暂停，则会显示一条包含相对残差 norm(b-A*x)/norm(b) 以及该方法停止时的迭代次数的诊断消息。

        x = pcg(A,b,tol) 指定该方法的容差。默认容差是 1e-6。

        x = pcg(A,b,tol,maxit) 指定要使用的最大迭代次数。如果 pcg 无法在 maxit 次迭代内收敛，将显示诊断消息。

        x = pcg(A,b,tol,maxit,M) 指定预条件子矩阵 M 并通过有效求解关于 y 的方程组 来计算 x，其中 且 。该算法不显式形成 H。使用预条件子矩阵可以改善问题的数值属性和计算的效率。

        x = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2) 指定预条件子矩阵 M 的因子，使得 M = M1*M2。

        x = pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 指定解向量 x 的初始估计值。默认值为由零组成的向量。

        [x,flag] = pcg(___) 返回一个标志，指示算法是否成功收敛。当 flag = 0 时，收敛成功。您可以将此输出语法用于之前的任何输入参数组合。如果指定了 flag 输出，pcg 将不会显示任何诊断消息。

        [x,flag,relres] = pcg(___) 还会返回相对残差 norm(b-A*x)/norm(b)。如果 flag 为 0，则 relres <= tol。

        [x,flag,relres,iter] = pcg(___) 还会返回计算出 x 时的迭代次数 iter。

        [x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(___) 还会在每次迭代中返回残差范数向量（包括第一个残差 norm(b-A*x0)）。

示例

线性系统的迭代解

        使用采用默认设置的 pcg 求解系数矩阵为方阵的线性系统，然后在求解过程中调整使用的容差和迭代次数。

        创建一个随机对称稀疏矩阵 A。还要为 Ax=b 的右侧创建一个由 A 的行总和组成的向量 b，使得实际解 x 是由 1 组成的向量。

rng default
A = sprand(400,400,.5);
A = A'*A;
b = sum(A,2);

        使用 pcg 求解 Ax=b。输出显示包括相对残差 ‖b−Ax‖/‖b‖ 的值。

x = pcg(A,b);
pcg stopped at iteration 20 without converging to the desired tolerance 1e-06
because the maximum number of iterations was reached.
The iterate returned (number 20) has relative residual 3.6e-06.

        默认情况下，pcg 使用 20 次迭代和容差 1e-6，对于此矩阵，算法无法在 20 次迭代后收敛。然而，残差接近容差，因此算法可能只需更多迭代即可收敛。

        使用容差 1e-7 和 150 次迭代再次求解方程组。

x = pcg(A,b,1e-7,150);
pcg converged at iteration 129 to a solution with relative residual 1e-07.

使用指定了预条件子的 pcg

        检查使用指定了预条件子矩阵的 pcg 来求解线性系统的效果。

        创建一个对称正定带状系数矩阵。

A = delsq(numgrid('S',102));

        定义 b 作为线性方程 Ax=b 的右侧。

b = ones(size(A,1),1);

设置容差和最大迭代次数。

tol = 1e-8;
maxit = 100;

使用 pcg 根据请求的容差和迭代次数求解。指定五个输出以返回有关求解过程的信息：

• x 是计算 A*x = b 所得的解。

• fl0 是指示算法是否收敛的标志。

• rr0 是计算的解 x 的相对残差。

• it0 是计算 x 时所用的迭代次数。

• rv0 是 ‖b−Ax‖ 的残差历史记录组成的向量。

[x,fl0,rr0,it0,rv0] = pcg(A,b,tol,maxit);
fl0
fl0 = 1
rr0
rr0 = 0.0131
it0
it0 = 100

        由于 pcg 未在请求的 100 次迭代内收敛至请求的容差 1e-8，因此 fl0 为 1。

        为了有助于缓慢收敛，可以指定预条件子矩阵。由于 A 是对称矩阵，请使用 ichol 生成预条件子 。通过指定 L 和 L' 作为 pcg 的输入，求解预条件方程组。

L = ichol(A);
[x1,fl1,rr1,it1,rv1] = pcg(A,b,tol,maxit,L,L');
fl1
fl1 = 0
rr1
rr1 = 8.0992e-09
it1
it1 = 79

        在第 79 次迭代中，使用 ichol 预条件子产生的相对残差小于规定的容差 1e-8 。输出 rv1(1) 是 norm(b) 且 rv1(end) 是 norm(b-A*x1)。

        现在，使用 michol 选项创建修正的不完全 Cholesky 预条件子。

L = ichol(A,struct('michol','on'));
[x2,fl2,rr2,it2,rv2] = pcg(A,b,tol,maxit,L,L');
fl2
fl2 = 0
rr2
rr2 = 9.9618e-09
it2
it2 = 47

        该预条件子优于使用零填充不完全 Cholesky 分解为本例中的系数矩阵生成的预条件子，因此 pcg 能够更快地收敛。

        通过绘制从初始估计值（迭代编号 0）开始的每次残差历史记录，可以查看预条件子如何影响 pcg 的收敛速度。为指定的容差添加一个线条。

semilogy(0:length(rv0)-1,rv0/norm(b),'-o')
hold on
semilogy(0:length(rv1)-1,rv1/norm(b),'-o')
semilogy(0:length(rv2)-1,rv2/norm(b),'-o')
yline(tol,'r--');
legend('No Preconditioner','Default ICHOL','Modified ICHOL','Tolerance','Location','East')
xlabel('Iteration number')
ylabel('Relative residual')

如图所示：

提供初始估计值

        检查向 pcg 提供解的初始估计值的效果。

        创建一个三对角稀疏矩阵。使用每行的总和作为 Ax=b 右侧的向量，使 x 的预期解是由 1 组成的向量。

n = 900;
e = ones(n,1);
A = spdiags([e 2*e e],-1:1,n,n);
b = sum(A,2);

        使用 pcg 求解 Ax=b 两次：一次是使用默认的初始估计值，一次是使用解的良好初始估计值。对两次求解均使用 200 次迭代和默认容差。将第二种求解中的初始估计值指定为所有元素都等于 0.99 的向量。

maxit = 200;
x1 = pcg(A,b,[],maxit);
pcg converged at iteration 35 to a solution with relative residual 9.5e-07.
x0 = 0.99*e;
x2 = pcg(A,b,[],maxit,[],[],x0);
pcg converged at iteration 7 to a solution with relative residual 8.7e-07.

        在这种情况下，提供初始估计值可以使 pcg 更快地收敛。

返回中间结果

        还可以通过在 for 循环中调用 pcg 来使用初始估计值获得中间结果。每次调用求解器都会执行几次迭代，并存储计算出的解。然后，将该解用作下一批迭代的初始向量。

        例如，以下代码会循环执行四次，每次执行 100 次迭代，并在 for 循环中每通过一次后均存储解向量：

x0 = zeros(size(A,2),1);
tol = 1e-8;
maxit = 100;
for k = 1:4[x,flag,relres] = pcg(A,b,tol,maxit,[],[],x0);X(:,k) = x;R(k) = relres;x0 = x;
end

        X(:,k) 是在 for 循环的第 k 次迭代时计算的解向量，R(k) 是该解的相对残差。

使用函数句柄代替数值矩阵

        通过为 pcg 提供用来计算 A*x 的函数句柄（而非系数矩阵 A）来求解线性系统。

        使用 gallery 生成一个 20×20 正定三对角矩阵。上对角线和下对角线上的元素都是 1，而主对角线上的元素是从 20 递减到 1。预览该矩阵。

n = 20;
A = gallery('tridiag',ones(n-1,1),n:-1:1,ones(n-1,1));
full(A)
ans = 20×2020     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     01    19     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     1    18     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     1    17     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     1    16     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     0     1    15     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     0     0     1    14     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     0     0     0     1    13     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     0     0     0     0     1    12     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     0     0     0     0     0     1    11     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0⋮

        由于此三对角矩阵有特殊的结构，您可以用函数句柄来表示 A*x 运算。当 A 乘以向量时，所得向量中的大多数元素为零。结果中的非零元素对应于 A 的非零三对角元素。此外，只有主对角线具有不等于 1 的非零值。

表达式 Ax 变为：

结果向量可以写为三个向量的和：

在 MATLAB® 中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而给出 A*x 的值：

function y = afun(x)
y = [0; x(1:19)] + ...[(20:-1:1)'].*x + ...[x(2:20); 0];
end

        （该函数作为局部函数保存在示例的末尾。）

        现在，通过为 pcg 提供用于计算 A*x 的函数句柄，求解线性系统 Ax=b。使用容差 1e-12 和 50 次迭代。

b = ones(20,1);
tol = 1e-12;  
maxit = 50;
x1 = pcg(@afun,b,tol,maxit)
pcg converged at iteration 20 to a solution with relative residual 4.4e-16.
x1 = 20×10.04760.04750.05000.05260.05550.05880.06250.06660.07140.0769⋮

        检查 afun(x1) 是否产生由 1 组成的向量。

afun(x1)
ans = 20×11.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000⋮

局部函数

function y = afun(x)
y = [0; x(1:19)] + ...[(20:-1:1)'].*x + ...[x(2:20); 0];
end

预条件共轭梯度法

        ​预条件共轭梯度法 (PCG) 旨在利用对称正定矩阵的结构。其他一些算法也可以对对称正定矩阵执行运算，但 PCG 在求解这些类型的方程组方面是最快和最可靠的 [1]。​

提示

• ​大多数迭代方法的收敛取决于系数矩阵的条件数 cond(A)。当 A 是方阵时，可以使用 equilibrate 来改进其条件数，它本身就能使大多数迭代求解器更容易收敛。但如果您随后会对经平衡处理的矩阵 B = R*P*A*C 进行因式分解，使用 equilibrate 还可以获得质量更好的预条件子矩阵。

• 可以使用矩阵重新排序函数（如 dissect 和 symrcm）来置换系数矩阵的行和列，并在系数矩阵被分解以生成预条件子时最小化非零值的数量。这可以减少后续求解预条件线性系统所需的内存和时间。

参考

        [1] Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.