【笔面试常见题：三门问题】用条件概率、全概率和贝叶斯推导

1. 问题介绍

三门问题，又叫蒙提霍尔问题（Monty Hall problem），以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自Craig F. Whitaker于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”变换你的选择对你来说是一种优势吗？

2. 事件定义

不失一般性，假设我们最初选择1号门，然后主持人打开3号门。定义事件如下：

• $A_1=$ 汽车在1号门后
• $A_2=$ 汽车在2号门后
• $A_3=$ 汽车在3号门后
• $B_3=$ 主持人打开3号门

根据题意不难得到：

• $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3}$
• 如果汽车在1号门后，那么主持人可以选择打开2号门或3号门。主持人打开3号门的概率是二分之一，此时：$P(B_3|A_1)=\frac{1}{2}$
• 如果汽车在2号门后，主持人只能打开3号门（因为门1是你选的，门2有汽车），此时：$P(B_3|A_2)=1$
• 如果汽车在3号门后，主持人不会打开3号门，此时：$P(B_3|A_3)=0$

计算概率

如果我们选择换门，则赢得汽车的概率就等于主持人打开3号门后，汽车在2号门的概率，即：$P(A_2|B_3)$。
根据贝叶斯公式：
$$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
$$\begin{array}{rl}P(A_2|B_3)=& \frac{P(B_3|A_2)P(A_2)}{P(B_3)}\\ =& \frac{P(B_3|A_2)P(A_2)}{{\sum }_{i=1}^{3}P(B_3|A_i)P(A_i)}\\ =& \frac{1/3}{1/2}\\ =& \frac{2}{3}\end{array}$$
相似的，如果我们选择不换门，则赢得汽车的概率就等于主持人打开3号门后，汽车还在1号门后的概率：$$P(B_3|A_1)=\frac{P(B_3|A_1)P(A_1)}{P(B_3)}=\frac{1}{3}$$
总结，选择换门，赢得汽车的概率是2/3，选择不换，赢得汽车的概率是1/3，所以果断换门。