凸极式发电机的相量图分析和计算，内功率因数角和外功率因数角和功角的定义。

图1：同步发电机稳态相量图

若发电机为凸极式，由于凸极机正、交轴同步电抗不等，即xd≠xq，因此必须先借助虚构电动势${\dot{E}}_Q={\dot{E}}_q-(x_d-x_q){\dot{I}}_d$来确定交轴的正方向，再在${\dot{E}}_Q$的延长线上按上述关系求出空载电动势${\dot{E}}_q$，之所以借助虚构电动势${\dot{E}}_Q$是由于凸极式同步机有：
注意下面是数值关系（对照图1的相量图分析下），电感是需要转90°：
$$\{\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{d}}=\frac{E_{\mathrm{q}}-U_{\mathrm{q}}}{x_{\mathrm{d}}}\\ I_{\mathrm{q}}=\frac{U_{\mathrm{d}}}{x_{\mathrm{q}}}\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}{U}_{\mathrm{d}}=I_{\mathrm{q}}{x}_{\mathrm{q}}\\ U_{\mathrm{q}}=E_{\mathrm{q}}-I_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{d}}=E_{\mathrm{Q}}-I_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{q}}\end{array}$$

之后再构造成相量形式
$$\begin{array}{rl}& U_{\mathrm{d}}+\mathrm{j}{U}_{\mathrm{q}}=I_{\mathrm{q}}{x}_{\mathrm{q}}+\mathrm{j}\left(E_{\mathrm{Q}}-I_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{q}}\right)\\ & U_{\mathrm{d}}+\mathrm{j}{U}_{\mathrm{q}}+\mathrm{j}{I}_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{q}}+\mathrm{j}\cdot \mathrm{j}{I}_{\mathrm{q}}{x}_{\mathrm{q}}=\mathrm{j}{E}_{\mathrm{Q}}\\ & \mathrm{j}{E}_{\mathrm{Q}}=\left(U_{\mathrm{d}}+\mathrm{j}{U}_{\mathrm{q}}\right)+\mathrm{j}{x}_{\mathrm{q}}\left(I_{\mathrm{d}}+\mathrm{j}{I}_{\mathrm{q}}\right)\\ & {\dot{E}}_{\mathrm{Q}}=\dot{U}+\mathrm{j}{x}_{\mathrm{q}}\dot{I}\end{array}$$

这个虚拟电势EQ的目的就是为了快速确定Q轴，不用分解U和I相量。

最后再加一个分量即可得到真正的空载电动势Eq

$$\begin{array}{rl}& U_{\mathrm{d}}=I_{\mathrm{q}}{x}_{\mathrm{q}}\\ & \mathrm{j}{U}_{\mathrm{q}}=\mathrm{j}\left(E_{\mathrm{q}}-I_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{d}}\right)\\ & U_{\mathrm{d}}+\mathrm{j}{U}_{\mathrm{q}}=I_{\mathrm{q}}{x}_{\mathrm{q}}+\mathrm{j}\left(E_{\mathrm{q}}-I_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{d}}\right)\\ & \mathrm{j}{E}_{\mathrm{q}}=\left(U_{\mathrm{d}}+\mathrm{j}{U}_{\mathrm{q}}\right)+\mathrm{jj}{I}_{\mathrm{q}}{x}_{\mathrm{q}}+\mathrm{j}{I}_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{q}}-\mathrm{j}{I}_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{q}}+\mathrm{j}{I}_{\mathrm{d}}{x}_{\mathrm{d}}\\ & \mathrm{j}{E}_{\mathrm{q}}=\left(U_{\mathrm{d}}+\mathrm{j}{U}_{\mathrm{q}}\right)+\mathrm{j}{x}_{\mathrm{q}}\left(I_{\mathrm{d}}+\mathrm{j}{I}_{\mathrm{q}}\right)+\mathrm{j}{I}_{\mathrm{d}}\left(x_{\mathrm{d}}-x_{\mathrm{q}}\right)\\ & {\dot{E}}_{\mathrm{q}}=\underset{{\dot{E}}_{\mathrm{Q}}}{\underbrace{\dot{U}+\mathrm{j}{x}_{\mathrm{q}}\dot{I}}}+\mathrm{j}{I}_{\mathrm{d}}\left(x_{\mathrm{d}}-x_{\mathrm{q}}\right)\end{array}$$

因为$\mathrm{j}{I}_{\mathrm{d}}\left(x_{\mathrm{d}}-x_{\mathrm{q}}\right)$是在q轴上，因此通过EQ确定了q轴线后，再叠加一个数值量$I_{\mathrm{d}}\left(x_{\mathrm{d}}-x_{\mathrm{q}}\right)$即可得到空载电动势Eq。

图2 含有EQ虚拟电势的相量图

大部分时候计算是以电压为参考∠0°，即把U相量水平放置，其实就是旋转了一下，关系式不变。

通过图2我们很快确定q轴位置，并得到空载电动势，空载电动势和负载电流的夹角为内功率因数角$\psi$：

$${\psi }_0={\tan }^{-1}\left(\frac{U\sin \phi +I{X}_q}{U\cos \phi +I{R}_a}\right)$$

由于在计算的时候一般不考虑电阻，因此Ra=0，上述公式的$\phi$是定子电压即同步电机的输出电压和负载电流的夹角，称为外功率因数角。

通过图2的空间几何关系可以得到上式求得内功率因数角$\psi$，内功率因数角$\psi$和外功率因数角$\phi$的差值称为功角$\delta$，就是这个角影响有功功率传输（有功和无功解耦的情况下）。