蓝桥杯每日真题 - 第12天

题目：（数三角）

题目描述（14届 C&C++ B组E题）

解题思路：

给定 n 个点的坐标，计算其中可以组成 等腰三角形 的三点组合数量。

1. 核心条件：等腰三角形的定义是三角形的三条边中至少有两条边的长度相等。

2. 坐标平面上的三点是否共线：如果三点共线，它们无法组成三角形。该程序在计算三点组合时，会排除共线的情况。

3. 解决方案：对于每个点 i，计算它与其他点之间的距离，并将具有相同距离的点分组，保存在一个映射表（map）中。随后从每组具有相同距离的点中，组合出两个点，构成一个等腰三角形。

代码实现（C++）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using pll = pair<ll, ll>;
double dis(ll x1, ll y1, ll x2, ll y2){return pow((x1 - x2), 2) + pow((y1-y2),2);
}
bool check(pll p1, pll p2, pll p3){//判断是否三点共线if(p1.second == p2.second || p1.second == p3.second)  return p1.second == p2.second && p1.second == p3.second;double a = (p1.first - p2.first) * 1.0 / (p1.second-p2.second);double b = (p1.first - p3.first) * 1.0 / (p1.second-p3.second);return abs(a - b) < 1e-6;
}
int main() {ll n; cin >> n;vector<pll> arr;for (int i = 0; i < n; ++i) {ll x, y;cin >> x >> y;arr.emplace_back(x, y);}ll ans = 0;//equ[i]存储的是第i个点所对应的map表//map表的含义是 有哪些点到第i个点的距离为key，这些点的下标用一个vector收集vector<map<double,vector<int>>> equ(n);for(int i = 0; i < n; ++i){auto m= equ[i];for(int j = 0; j < n; ++j){//遍历其他的所有点，在map中记录相等距离if(i != j){pll p1 = arr[i]; pll p2 = arr[j];double d = dis(p1.first,p1.second,p2.first,p2.second);m[d].push_back(j);}}//收集完成之后，遍历这张map表for(const auto& [k,v] : m){for(int a = 0; a < v.size(); ++a){ //从到当前点的距离相等的点之中选取两个点a，bfor(int b = a + 1; b < v.size(); ++b){if(!check(arr[i],arr[v[a]],arr[v[b]])){//只要不是三点共线ans++;}}}}}cout << ans;
}

得到运行结果：

代码分析： 

• 距离计算：dis 函数计算两个点之间的欧几里得距离的平方，这样可以避免使用浮点运算。

• 三点共线判断：check 函数通过检查斜率是否相等来判断三点是否共线。通过分段计算和比较斜率来避免浮点数精度误差。

• 构建距离映射：对于每个点 iii，计算它到其他点的距离，并使用 map 将这些距离相等的点分组。

• 等腰三角形组合计数：从距离相等的点中选择两个不同的点与当前点 iii 组合成三角形，检查是否共线。若不是共线，则计数增加。

难度分析

⭐️⭐️⭐️⭐️

总结

• 时间复杂度：该算法的复杂度为 ，因为它使用三重循环来枚举所有三点组合。

• 空间复杂度：使用了 map 来存储每个点到其他点的距离信息，相应的空间复杂度为 。