当前位置: 首页 > news >正文

【数学 函数空间】拉普拉斯变换解微分方程步骤

拉普拉斯变换解微分方程

  • 拉普拉斯变换解微分方程的一般步骤如下:
    • 写出微分方程。
    • 对微分方程两边应用拉普拉斯正变换
    • 求解变换后的代数方程,得到 Y ( s ) Y(s) Y(s)
    • 如果需要,进行部分分式分解。
    • Y ( s ) Y(s) Y(s)进行拉普拉斯逆变换,得到 y ( t ) y(t) y(t)
    • 考虑初始条件,得到完整的时域解。

1. 写出微分方程

  • 假设有一个关于函数 y ( t ) y(t) y(t)的微分方程:

d n y ( t ) d t n + a n − 1 d n − 1 y ( t ) d t n − 1 + ⋯ + a 1 d y ( t ) d t + a 0 y ( t ) = f ( t ) \frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{d y(t)}{dt} + a_0 y(t) = f(t) dtndny(t)+an1dtn1dn1y(t)++a1dtdy(t)+a0y(t)=f(t)

其中, f ( t ) f(t) f(t) 是已知的外部输入函数,( y(t) ) 是待求解的函数,( a_0, a_1, \dots, a_{n-1} ) 是常数。

2. 对微分方程两边应用拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的定义是:

L { f ( t ) } = F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt L{f(t)}=F(s)=0f(t)estdt

通过对微分方程两边应用拉普拉斯变换,将微分方程中的每一项都转换为代数方程中的相应项。利用拉普拉斯变换的常用公式:

  • L { d n y ( t ) d t n } = s n Y ( s ) − s n − 1 y ( 0 ) − s n − 2 d y ( 0 ) d t − ⋯ − y ( n − 1 ) ( 0 ) \mathcal{L} \left\{ \frac{d^n y(t)}{dt^n} \right\} = s^n Y(s) - s^{n-1} y(0) - s^{n-2} \frac{dy(0)}{dt} - \dots - y^{(n-1)}(0) L{dtndny(t)}=snY(s)sn1y(0)sn2dtdy(0)y(n1)(0)

对于每个导数项,拉普拉斯变换会产生相应的 s s s-域表达式。 Y ( s ) Y(s) Y(s) y ( t ) y(t) y(t) 的拉普拉斯变换, y ( 0 ) , y ′ ( 0 ) , … y(0), y'(0), \dots y(0),y(0),是初始条件。

  • 假设有一个二阶微分方程:

d 2 y ( t ) d t 2 + 3 d y ( t ) d t + 2 y ( t ) = f ( t ) \frac{d^2 y(t)}{dt^2} + 3\frac{d y(t)}{dt} + 2 y(t) = f(t) dt2d2y(t)+3dtdy(t)+2y(t)=f(t)

应用拉普拉斯变换后:

s 2 Y ( s ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) + 3 ( s Y ( s ) − y ( 0 ) ) + 2 Y ( s ) = F ( s ) s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 3(s Y(s) - y(0)) + 2 Y(s) = F(s) s2Y(s)sy(0)y(0)+3(sY(s)y(0))+2Y(s)=F(s)

3. 代数方程求解

将变换后的方程整理成 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的代数方程,通常是一个关于 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的代数方程:

Y ( s ) ( s 2 + 3 s + 2 ) − s y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) − 3 y ( 0 ) = F ( s ) Y(s) \left( s^2 + 3s + 2 \right) - s y(0) - y'(0) - 3y(0) = F(s) Y(s)(s2+3s+2)sy(0)y(0)3y(0)=F(s)

然后解这个代数方程,求出 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的表达式。对于上面的例子,解出 Y ( s ) Y(s) Y(s)

Y ( s ) = F ( s ) + s y ( 0 ) + y ′ ( 0 ) + 3 y ( 0 ) s 2 + 3 s + 2 Y(s) = \frac{F(s) + s y(0) + y'(0) + 3 y(0)}{s^2 + 3s + 2} Y(s)=s2+3s+2F(s)+sy(0)+y(0)+3y(0)

4. 应用部分分式分解(如有必要)

如果得到的 Y ( s ) Y(s) Y(s) 是一个有理函数(分子和分母都是多项式),通常需要使用部分分式分解来将 Y ( s ) Y(s) Y(s) 分解成简单的分式。这对于拉普拉斯反变换非常重要,因为简单的分式更容易找到其逆变换。

  • 例如,如果得到:

Y ( s ) = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) Y(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)} Y(s)=(s+1)(s+2)1

  • 可以进行部分分式分解:

1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = A s + 1 + B s + 2 \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} (s+1)(s+2)1=s+1A+s+2B

然后解出 A A A B B B,得到 Y ( s ) Y(s) Y(s) 的分式形式。

5. 进行拉普拉斯逆变换

一旦得到 Y ( s ) Y(s) Y(s),就可以通过查找标准的拉普拉斯变换对照表或使用逆变换公式,将 Y ( s ) Y(s) Y(s) 转换回时域函数 y ( t ) y(t) y(t)

  • 例如,如果:

Y ( s ) = 1 s + 1 Y(s) = \frac{1}{s+1} Y(s)=s+11

  • 可以使用拉普拉斯变换对照表得出逆变换:

y ( t ) = e − t y(t) = e^{-t} y(t)=et

  • 以下是拉普拉斯变换常见函数的对照表:
函数 f ( t ) f(t) f(t)拉普拉斯变换 L { f ( t ) } \mathcal{L}\{f(t)\} L{f(t)}
1 1 1 1 s \frac{1}{s} s1
t t t 1 s 2 \frac{1}{s^2} s21
t n t^n tn (n为整数) n ! s n + 1 \frac{n!}{s^{n+1}} sn+1n!
e a t e^{at} eat 1 s − a \frac{1}{s - a} sa1
sin ⁡ ( a t ) \sin(at) sin(at) a s 2 + a 2 \frac{a}{s^2 + a^2} s2+a2a
cos ⁡ ( a t ) \cos(at) cos(at) s s 2 + a 2 \frac{s}{s^2 + a^2} s2+a2s
e a t sin ⁡ ( b t ) e^{at} \sin(bt) eatsin(bt) b ( s − a ) 2 + b 2 \frac{b}{(s-a)^2 + b^2} (sa)2+b2b
e a t cos ⁡ ( b t ) e^{at} \cos(bt) eatcos(bt) s − a ( s − a ) 2 + b 2 \frac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} (sa)2+b2sa
δ ( t ) \delta(t) δ(t) 1 1 1
u ( t ) u(t) u(t) (单位阶跃函数) 1 s \frac{1}{s} s1
u ( t − a ) u(t-a) u(ta) (延迟单位阶跃函数) e − a s s \frac{e^{-as}}{s} seas
1 t \frac{1}{t} t1 ln ⁡ ( s ) \ln(s) ln(s)
e a t t n e^{at} t^n eattn n ! ( s − a ) n + 1 \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} (sa)n+1n!

6. 考虑初始条件

在进行拉普拉斯逆变换时,确保考虑初始条件。初始条件(如 y ( 0 ) y(0) y(0), y ′ ( 0 ) y'(0) y(0) 等)在解的过程中通过拉普拉斯变换的公式已经引入,因此最终解中将包含这些初始条件对时域解的影响。

7. 最终解

最后,得到微分方程的解,通常是:

y ( t ) = L − 1 { Y ( s ) } y(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ Y(s) \right\} y(t)=L1{Y(s)}

相关文章:

【数学 函数空间】拉普拉斯变换解微分方程步骤

拉普拉斯变换解微分方程 拉普拉斯变换解微分方程的一般步骤如下: 写出微分方程。对微分方程两边应用拉普拉斯正变换。求解变换后的代数方程,得到 Y ( s ) Y(s) Y(s)。如果需要,进行部分分式分解。对 Y ( s ) Y(s) Y(s)进行拉普拉斯逆变换&…...

vue3: toRef, reactive, toRefs, toRaw

vue3&#xff1a; toRef, reactive, toRefs, toRaw <template><div>{{ man }}</div><hr><!-- <div>{{ name }}--{{ age }}--{{ like }}</div> --><div><button click"change">修改</button></div&g…...

Unity读取Json

参考 Unity读取Json的几种方法_unity读取json文件-CSDN博客...

基于STM32的智能语音识别饮水机系统设计

功能描述 1、给饮水机设定称呼&#xff0c;喊出称呼&#xff0c;饮水机回答&#xff1a;我在 2、语音进行加热功能&#xff0c;说&#xff1a;请加热&#xff0c;加热片运行 3、饮水机水位检测&#xff0c;低于阈值播报“水量少&#xff0c;请换水” 4、检测饮水机水温&#xf…...

c++的几种构造函数

c的几种构造函数 构造函数拷贝构造函数转换构造函数移动构造函数 析构函数 构造函数 C中的构造函数可以分为5类&#xff1a;默认构造函数、普通构造函数、拷贝构造函数、转换构造函数、移动构造函数。 好像还有委托构造 默认构造和普通构造和java基本一样 详细 拷贝构造函…...

FRP 实现内网穿透

如何通过 FRP 实现内网穿透&#xff1a;群晖 NAS 的 Gitea 和 GitLab 访问配置指南 在自建服务的过程中&#xff0c;经常会遇到内网访问受限的问题。本文将介绍如何利用 FRP&#xff08;Fast Reverse Proxy&#xff09;来实现内网穿透&#xff0c;以便在外网访问群晖 NAS 上的…...

数据结构笔记(其八)--一般树的存储及其遍历

1.知识总览 一般的树会有多个孩子&#xff0c;所以存储结构也会与二叉树略有不同。 一般树的遍历。 2.双亲表示法 双亲表示法&#xff0c;也是父亲表示法&#xff0c;即每个节点中都存储了其父节点的地址信息。 特性&#xff1a;可以轻易地找到父节点&#xff0c;但寻找孩子节…...

在spring boot工程中使用Filter时,@WebFilter 注解不生效的问题分析和解决方案

1. 问题描述 首先编写一个Filter类并通过Component放入spring容器中&#xff0c;通过实现jakarta.servlet中提供的Filter接口完成过滤器的创建&#xff0c;代码如下。 import jakarta.servlet.*; import jakarta.servlet.annotation.WebFilter; import org.springframework.st…...

浅谈“通感一体”

文章目录 5G_Advanced的关键技术通感一体的介绍通感一体应用通感一体面临的挑战 5G_Advanced的关键技术 2024年6月18日16点30分&#xff0c;在上海举行的3GPP RAN第104次会议上&#xff0c;R18标准正式冻结&#xff0c;标志着5G技术的又一重要里程碑。值得注意的是&#xff0c…...

【Linux】监控系统Zabbix的安装与配置

文章目录 一、前期准备1、安装LAMP2、配置SELinux与防火墙3、测试Apache4、配置数据库5、创建zabbix数据库及应用 二、server端安装配置1、软件包安装2、配置数据库3、zabbix访问测试4、配置web界面 三、Agent端安装配置1、安装zabbix-agent2、配置3、启动zabbix-agent4、配置防…...

Springboot定时任务

Component EnableScheduling public class SpringBootTestJob {Scheduled(cron "0/5 * * * * ?")public void testScheduled(){System.out.println("SpringBootTestJob test");} }这段代码使用了 Spring Boot 自带的定时任务机制。解释如下&#xff1a; …...

node.js知识点总结

1、Node.js Node. js是一个基于 Chrome v8引擎的服务器端 JavaScript运行环境&#xff1b;Node. js是一个事件驱动、非阻塞式I/O的模型&#xff0c;轻量而又高效&#xff1b;Node. js的包管理器npm是全球最大的开源库生态系统。 2、数据处理中的buffer&#xff1a; 具体…...

Kotlin中泛型的协变

interface Shapeclass Circle : Shapefun main() {val shapes1: List<Shape> listOf<Circle>()val shapes2: MutableList<Shape> mutableListOf<Circle>() }如上代码&#xff0c;第一行赋值语句是OK的&#xff0c;第二行赋值语句在编辑器上直接就报错…...

第三百二十五节 Java线程教程 - Java Fork/Join框架

Java线程教程 - Java Fork/Join框架 fork/join框架通过利用机器上的多个处理器或多个内核来解决问题。 该框架有助于解决涉及并行性的问题。 fork/join框架创建一个线程池来执行子任务。 当线程在子任务上等待完成时&#xff0c;框架使用该线程来执行其他线程的其他未决子任…...

网络游戏安全现状及相关应对方案

中国网络游戏历经十余年的飞速发展&#xff0c;取得了显著成就&#xff0c;但与此同时&#xff0c;也陷入了诸多安全问题的泥沼。 一、中国网络游戏发展中的安全困境 &#xff08;一&#xff09;灰色产业链滋生 外挂、私服、盗号、打金工作室以及网络信息诈骗等灰色产业链在…...

uniapp h5地址前端重定向跳转

简单说下功能&#xff0c;就是在地址输入http://localhost:8080/home 会自行跳转到http://localhost:8080/pages/home/index&#xff0c;如果有带参数的话也会携带上去。 ps&#xff1a;只能在h5中使用 首先需要用到query-string 安装query-string npm install query-string…...

uniapp隐藏自带的tabBar

uniapp隐藏自带的tabBar 场景: 微信小程序在使用自定义tabBar组件时, 隐藏uniapp自带的tabBar <template> <!-- index页面 --> </template> <script setup> import { onShow } from /utils/wxUtils onShow(() > {uni.hideTabBar() // 隐藏自带的tab…...

使用--log-file保存pytest的运行日志

前面使用了tee和重定向来保存pytest的运行日志&#xff0c;这次使用--log-file&#xff0c;因为它可以配置日志的级别、格式和每行日志的生成时间。 pytest -q -s -ra --count100 test_open_stream.py --alluredir./report/CXL --log-filepytest_log.txt 【pytest.ini】 使用…...

WebAPI性能监控-MiniProfiler与Swagger集成

Net8_WebAPI性能监控-MiniProfiler与Swagger集成 要在.NET Core项目中集成MiniProfiler和Swagger&#xff0c;可以按照以下步骤操作&#xff1a; 安装NuGet包&#xff1a; 安装MiniProfiler.AspNetCore.Mvc包以集成MiniProfiler。安装MiniProfiler.EntityFrameworkCore包以监…...

视频会议接入GB28181视频指挥调度,语音对讲方案

传统的视频会议指挥调度系统目前主流的互联网会议大部分都是私有协议&#xff0c;功能都很独立。目前主流的视频监控国标都最GB平台&#xff0c;新的需求要求融合平台要接入监控等设备&#xff0c;并能实现观看监控接入会议&#xff0c;实时语音设备指挥现场工作人员办公实施。…...

Appium+python自动化(十六)- ADB命令

简介 Android 调试桥(adb)是多种用途的工具&#xff0c;该工具可以帮助你你管理设备或模拟器 的状态。 adb ( Android Debug Bridge)是一个通用命令行工具&#xff0c;其允许您与模拟器实例或连接的 Android 设备进行通信。它可为各种设备操作提供便利&#xff0c;如安装和调试…...

FFmpeg 低延迟同屏方案

引言 在实时互动需求激增的当下&#xff0c;无论是在线教育中的师生同屏演示、远程办公的屏幕共享协作&#xff0c;还是游戏直播的画面实时传输&#xff0c;低延迟同屏已成为保障用户体验的核心指标。FFmpeg 作为一款功能强大的多媒体框架&#xff0c;凭借其灵活的编解码、数据…...

(二)TensorRT-LLM | 模型导出(v0.20.0rc3)

0. 概述 上一节 对安装和使用有个基本介绍。根据这个 issue 的描述&#xff0c;后续 TensorRT-LLM 团队可能更专注于更新和维护 pytorch backend。但 tensorrt backend 作为先前一直开发的工作&#xff0c;其中包含了大量可以学习的地方。本文主要看看它导出模型的部分&#x…...

五年级数学知识边界总结思考-下册

目录 一、背景二、过程1.观察物体小学五年级下册“观察物体”知识点详解&#xff1a;由来、作用与意义**一、知识点核心内容****二、知识点的由来&#xff1a;从生活实践到数学抽象****三、知识的作用&#xff1a;解决实际问题的工具****四、学习的意义&#xff1a;培养核心素养…...

3403. 从盒子中找出字典序最大的字符串 I

3403. 从盒子中找出字典序最大的字符串 I 题目链接&#xff1a;3403. 从盒子中找出字典序最大的字符串 I 代码如下&#xff1a; class Solution { public:string answerString(string word, int numFriends) {if (numFriends 1) {return word;}string res;for (int i 0;i &…...

Unsafe Fileupload篇补充-木马的详细教程与木马分享(中国蚁剑方式)

在之前的皮卡丘靶场第九期Unsafe Fileupload篇中我们学习了木马的原理并且学了一个简单的木马文件 本期内容是为了更好的为大家解释木马&#xff08;服务器方面的&#xff09;的原理&#xff0c;连接&#xff0c;以及各种木马及连接工具的分享 文件木马&#xff1a;https://w…...

R语言速释制剂QBD解决方案之三

本文是《Quality by Design for ANDAs: An Example for Immediate-Release Dosage Forms》第一个处方的R语言解决方案。 第一个处方研究评估原料药粒径分布、MCC/Lactose比例、崩解剂用量对制剂CQAs的影响。 第二处方研究用于理解颗粒外加硬脂酸镁和滑石粉对片剂质量和可生产…...

2025年渗透测试面试题总结-腾讯[实习]科恩实验室-安全工程师(题目+回答)

安全领域各种资源&#xff0c;学习文档&#xff0c;以及工具分享、前沿信息分享、POC、EXP分享。不定期分享各种好玩的项目及好用的工具&#xff0c;欢迎关注。 目录 腾讯[实习]科恩实验室-安全工程师 一、网络与协议 1. TCP三次握手 2. SYN扫描原理 3. HTTPS证书机制 二…...

[ACTF2020 新生赛]Include 1(php://filter伪协议)

题目 做法 启动靶机&#xff0c;点进去 点进去 查看URL&#xff0c;有 ?fileflag.php说明存在文件包含&#xff0c;原理是php://filter 协议 当它与包含函数结合时&#xff0c;php://filter流会被当作php文件执行。 用php://filter加编码&#xff0c;能让PHP把文件内容…...

第7篇:中间件全链路监控与 SQL 性能分析实践

7.1 章节导读 在构建数据库中间件的过程中&#xff0c;可观测性 和 性能分析 是保障系统稳定性与可维护性的核心能力。 特别是在复杂分布式场景中&#xff0c;必须做到&#xff1a; &#x1f50d; 追踪每一条 SQL 的生命周期&#xff08;从入口到数据库执行&#xff09;&#…...