【数学 函数空间】拉普拉斯变换解微分方程步骤

拉普拉斯变换解微分方程

• 拉普拉斯变换解微分方程的一般步骤如下：
  • 写出微分方程。
  • 对微分方程两边应用拉普拉斯正变换。
  • 求解变换后的代数方程，得到 $Y(s)$。
  • 如果需要，进行部分分式分解。
  • 对 $Y(s)$进行拉普拉斯逆变换，得到 $y(t)$。
  • 考虑初始条件，得到完整的时域解。

1. 写出微分方程

• 假设有一个关于函数$y(t)$的微分方程：

$$\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=f(t)$$

其中，$f(t)$ 是已知的外部输入函数，( y(t) ) 是待求解的函数，( a_0, a_1, \dots, a_{n-1} ) 是常数。

2. 对微分方程两边应用拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的定义是：

L { f ( t ) } = F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt L{f(t)}=F(s)=∫0∞​f(t)e−stdt

通过对微分方程两边应用拉普拉斯变换，将微分方程中的每一项都转换为代数方程中的相应项。利用拉普拉斯变换的常用公式：

• $$\mathcal{L}\left\{\frac{d^{n}y(t)}{d{t}^n}\right\}=s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}\frac{dy(0)}{dt}-\cdots -y^{(n-1)}(0)$$

对于每个导数项，拉普拉斯变换会产生相应的$s$-域表达式。$Y(s)$ 是 $y(t)$ 的拉普拉斯变换，$y(0),y^{\prime }(0),\dots$是初始条件。

• 假设有一个二阶微分方程：

$$\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+3\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=f(t)$$

应用拉普拉斯变换后：

$$s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{\prime }(0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=F(s)$$

3. 代数方程求解

将变换后的方程整理成 $$Y(s)$$ 的代数方程，通常是一个关于 $$Y(s)$$ 的代数方程：

$$Y(s)\left(s^2+3s+2\right)-sy(0)-y^{\prime }(0)-3y(0)=F(s)$$

然后解这个代数方程，求出 $Y(s)$ 的表达式。对于上面的例子，解出 $Y(s)$：

$$Y(s)=\frac{F(s)+sy(0)+y^{\prime }(0)+3y(0)}{s^2+3s+2}$$

4. 应用部分分式分解（如有必要）

如果得到的 $Y(s)$ 是一个有理函数（分子和分母都是多项式），通常需要使用部分分式分解来将$Y(s)$ 分解成简单的分式。这对于拉普拉斯反变换非常重要，因为简单的分式更容易找到其逆变换。

• 例如，如果得到：

$$Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}$$

• 可以进行部分分式分解：

$$\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}$$

然后解出 $A$ 和 $B$，得到 $Y(s)$ 的分式形式。

5. 进行拉普拉斯逆变换

一旦得到 $Y(s)$，就可以通过查找标准的拉普拉斯变换对照表或使用逆变换公式，将 $Y(s)$ 转换回时域函数 $y(t)$。

• 例如，如果：

$$Y(s)=\frac{1}{s+1}$$

• 可以使用拉普拉斯变换对照表得出逆变换：

$$y(t)=e^{-t}$$

• 以下是拉普拉斯变换常见函数的对照表：

函数 $f(t)$	拉普拉斯变换 L { f ( t ) } \mathcal{L}\{f(t)\} L{f(t)}
$1$	$$\frac{1}{s}$$
$t$	$$\frac{1}{s^2}$$
$t^n$ (n为整数)	$$\frac{n!}{s^{n+1}}$$
$e^{at}$	$$\frac{1}{s-a}$$
$\sin (at)$	$$\frac{a}{s^2+a^2}$$
$\cos (at)$	$$\frac{s}{s^2+a^2}$$
$e^{at}\sin (bt)$	$$\frac{b}{(s-a{)}^2+b^2}$$
$e^{at}\cos (bt)$	$$\frac{s-a}{(s-a{)}^2+b^2}$$
$\delta (t)$	$$1$$
$u(t)$ (单位阶跃函数)	$$\frac{1}{s}$$
$u(t-a)$ (延迟单位阶跃函数)	$$\frac{e^{-as}}{s}$$
$\frac{1}{t}$	$$\ln (s)$$
$e^{at}{t}^n$	$$\frac{n!}{(s-a{)}^{n+1}}$$

6. 考虑初始条件

在进行拉普拉斯逆变换时，确保考虑初始条件。初始条件（如 $y(0)$, $y^{\prime }(0)$ 等）在解的过程中通过拉普拉斯变换的公式已经引入，因此最终解中将包含这些初始条件对时域解的影响。

7. 最终解

最后，得到微分方程的解，通常是：

y ( t ) = L − 1 { Y ( s ) } y(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ Y(s) \right\} y(t)=L−1{Y(s)}