2008年IMO几何预选题第3题

设有两个圆凸内接四边形 $ABQD$ 和 $BPQC$, 在线段 $PQ$ 上存在一点 $E$, 使得, $\angle EAP=\angle EDQ$, $\angle EBP=\angle ECQ$. 求证: $A$, $B$, $C$, $D$ 四点共圆.

证明:

设 $BC$, $PQ$ 交于 $I$. 设直线 $BP$ 和 $CQ$ 交于点 $J$.
$PI/QI=CQ/CJ\cdot BJ/PB=BJ/CJ\cdot CQ/PB$
显然 $△JBQ\sim △JCP$
$BJ/CJ=BQ/CP$
$PI/QI=BQ/CP\cdot CQ/PB=BQ/BP\cdot CQ/CP$
$BQ/BP=S_{△BQE}/S_{△BPE}\cdot \sin \angle EBQ/\sin \angle EBP=EQ/EP\cdot \sin \angle EBQ/\sin \angle EBP$
类似地, 可知 $CQ/CP=EQ/EP\cdot \sin PCE/\sin \angle QCE$.
代入得, $PI/QI=(EQ/EP{)}^2$
设 $AD$, $PQ$ 交于 $I^{\prime }$, 可类似地求出 $P{I}^{\prime }/Q{I}^{\prime }=(EQ/EP{)}^2$, 因此 $I$ 和 $I^{\prime }$ 重合
$IB\cdot IC=IP\cdot IQ=IA\cdot ID$, 因此 $A$, $B$, $C$, $D$ 四点共圆.
证毕.

拓展, 延长 $EP$, $EL$, 分别交 $(JPQ)$ 于点 $K$, $L$. 则 $KL//PQ$. 证明略.

整理时间: 2024年11月30日.