【C++笔记】二叉搜索树

前言

各位读者朋友们大家好！上期我们讲完了面向对象编程三大属性之一的多态，这一期我们再次开始数据结构二叉搜索树的讲解。

一. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一颗空树，或者是具有以下性质的二叉树：

• 若它的左子树不为空，则左子树上的所有节点的值都小于等于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上的所有节点的值都大于等于根节点的值
• 它的左右子树也是二叉搜索树
• 二叉搜索树中可以支持插入相同的值，也可以不支持插入相同的值，具体看使用场景定义，后续我们会学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等的值，multimap/multiset支持插入相等的值。
  

二. 二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树或者接近于完全二叉树，最多的搜索次数是高度次，即O(logN)
最坏情况下，二叉树退化为单枝树或者类似于单枝树，最坏的搜索次数是高度次，即O(N)

所以综合而言二叉搜索树的增删查改的时间复杂度是O(N)
这样的效率显然是无法满足我们的需求的，我们后面会继续讲解二叉搜索树的变形，平衡搜索树AVL树和红黑树，才能适合我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，二分查找也可以实现O(logN)的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

• 需要存储在支持下标随机访问的结构中并且有序
• 插入和删除数据的效率很低，因为在支持下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般都需要挪动数据
  这里就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

三. 二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

1. 如果树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
2. 树不为空，按二叉搜索树性质，插入值比当前节点值大的往右走，插入值比当前节点小的往左走，找到空位置，插入新节点
3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前节点相等的值可以往左走，也可以往右走，找到空位置，插入新节点。(要注意的是保持逻辑的一致，插入相等的值不要一会往左走，一会往右走)
   
   二叉搜索树的结构：

template<class K>// 节点
struct BTNode
{K  _key;BTNode<K>* _left;BTNode<K>* _right;BTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};
template<class K>
class BSTree
{typedef BTNode<K> Node;
public:// 成员函数
private:Node* _root;
};

二叉搜索树插入代码的实现

bool Insert(const K& key)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;// 父亲节点Node* cur = _root;// 当前节点while (cur){if (cur->_key > key)// 当前节点的值大于key，往左走{parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key)// 当前节点的值小于key，往右走{parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}// 找到空位置cur = new Node(key);if (parent->_key > key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return true;
}

四. 二叉搜索树的查找

1. 从根节点开始比较，查找key, key比根节点的值大，往右找，比根结点的值小，往左边找。
2. 最多查找高度次，走到空，如果还没有找到，这个值就不存在
3. 如果不支持插入相等的值，找到key返回即可
4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个key存在，一般要求查找中序中的第一个key。

二叉搜索树查找代码实现：

	bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key)// 往左走{cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{return true;}}return false;}

五. 二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在就返回false。
如果查找的元素存在，则分以下四种情况处理：

1. 要删除的节点左右子树均为空
2. 要删除的节点的左子树为空，右子树不为空
3. 要删除的节点的右子树为空，左子树不为空
4. 要删除的节点左右子树均不为空
   
   
   对应以上四种情况的解决方法：
   对于前三种比较好处理：如果左子树为空，右子树不为空，就将该节点的父亲节点指向该节点的右子树，删除该节点；如果右子树为空，左子树不为空，，就将该节点的父亲节点指向该节点的左子树，然后删除该节点；对于左右子树均为空树的情况，上面的方法就可以解决，需要注意的是，在父亲节点连接子树的时候，需要判断删除的节点是父亲节点的左子树还是右子树。
   
   

对于左右子树均不为空的情况：我们要直接删的话难度很大，二叉搜索树的性质：左右子树均是二叉树搜索树，我们把这个节点删除之后还要保持这个性质，所以可以将左子树最大的节点（最右节点）找到，把最大节点的值赋值给要删除的节点，然后连接上最大节点的左子树，删除这个最大的节点；或者找右子树中最小的节点（最左节点），重复上面的操作即可。

bool Erase(const K& key)
{Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;// 找key节点while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else// 找到key了{// 左为空，父亲节点连右子树if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{//当前节点是父亲节点的左子树if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else//当前节点是父亲节点的右子树{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}// 右子树为空，父亲节点连左子树else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{//当前节点是父亲节点的左子树if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else //左右子树都不为空，找左子树中最大的(最右节点){Node* dest = cur->_left;Node* parent = cur;while (dest->_right){parent = dest;dest = dest->_right;}cur->_key= dest->_key;if (parent->_left == dest)parent->_left = dest->_left;elseparent->_right = dest->_left;delete dest;}return true;}}return false;
}

这段代码有几个需要注意的点：

这种情况左子树或右子树为空都适用

六. 二叉搜索树key和key/value使用场景

6.1 key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主的车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进⼊时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景2：检查⼀篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

6.2 key/value搜索场景

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字按二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和vlaue(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间-入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
场景3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
key/value⼆叉搜索树代码实现：

namespace Key_Value
{template<class K, class V>struct BTNode{K _key;V _val;BTNode<K, V>* _left;BTNode<K, V>* _right;BTNode(const K& key, const V& val):_key(key), _val(val), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K, class V>class BSTree{typedef BTNode<K, V> Node;public:BSTree() = default;~BSTree(){Destroy(_root);}BSTree(const BSTree& t){_root = Copy(t._root);}BSTree& operator=(BSTree tmp){std::swap(_root, tmp._root);return *this;}bool Insert(const K& key, const V& val){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, val);return true;}Node* parent = nullptr;// 父亲节点Node* cur = _root;// 当前节点while (cur){if (cur->_key > key)// 当前节点的值大于key，往左走{parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key)// 当前节点的值小于key，往右走{parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}// 找到空位置cur = new Node(key, val);if (parent->_key > key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key)// 往左走{cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;// 找key节点while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else// 找到key了{// 左为空，父亲节点连右子树if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{//当前节点是父亲节点的左子树if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else//当前节点是父亲节点的右子树{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}// 右子树为空，父亲节点连左子树else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{//当前节点是父亲节点的左子树if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else//左右子树都不为空，找左子树中最大的(最右节点){Node* dest = cur->_left;Node* parent = cur;while (dest->_right){parent = dest;dest = dest->_right;}cur->_key = dest->_key;if (parent->_left == dest)// 删根节点parent->_left = dest->_left;elseparent->_right = dest->_left;delete dest;}return true;}}return false;}void _InOrder(){InOrder(_root);cout << endl;}private:void InOrder(Node* _root){if (_root == nullptr)return;InOrder(_root->_left);cout << _root->_key << ":" << _root->_val << endl;InOrder(_root->_right);}void Destroy(Node* _root){if (_root == nullptr)return;Destroy(_root->_left);Destroy(_root->_right);delete _root;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_val);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}Node* _root = nullptr;};
}

七. 析构函数、拷贝构造以及赋值重载的实现

• 析构函数，将二叉树的每一个节点的内存空间都释放掉，之前我们C语言的二叉树的销毁用的后序遍历，由于我们在类外无法访问到_root指针，我们可以将二叉树的销毁实现成私有成员函数，然后在类内让析构函数去调用

~BSTree()
{Destroy(_root);
}
private:
void Destroy(Node* _root)
{if (_root == nullptr)return;Destroy(_root->_left);Destroy(_root->_right);delete _root;
}

• 拷贝构造
  拷贝构造的实现我们选择使用递归的方法，先将根节点构造出来，然后构建左子树再构建右子树。

BSTree(const BSTree& t)
{_root = Copy(t._root);
}
private:
Node* Copy(Node* root)
{if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_val);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;
}

用下面的例子部分演示一下构造子树的过程

• 赋值重载
  有了拷贝构造之后，写现代写法的复制重载就很容易了，只需要交换两个树的根节点的指针即可。

BSTree& operator=(BSTree tmp)
{std::swap(_root, tmp._root);return *this;
}

结语

以上我们就讲完了二叉搜索树的内容，希望对大家有所帮助！感谢大家的阅读，欢迎大家批评指正！