1919C. Grouping Increases

问题描述

序列$X$，划分成两个字序列$A,B$，其中惩罚是$A,B$之中，$A[i]<A[i+1],B[i]<B[i+1]$的个数

思路

1. 拆分$X$，实际上是个在线的过程，不断的从$X$中拿数字往$A,B$之中填。

2. 我们假设$A,B$的最后一个数字为$A_l,B_l$, 针对元素$X[i]$的插入，下列三种情况进行不同的讨论，不失一般性，我们假设$A_l<=B_l$。
   情况1：$X[i]<=A_l$
   添$X[i]$到$A$里，因为$B_l$可接受的范围一定更广泛

   情况2：$X[i]>B_l$
   添$X[i]$到$A$里，因为添加到$B$的末尾，会损失一个大一点的数字

   情况3: $A_l<X[i]<=B_l$
   添$X[i]$到$B$里，不论到A和B得会到一个负分，该决策优于添加到A，这个在文末证明。

代码

void solve()
{int n;cin >> n;vector<int> v(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> v[i];}int a, b;a = b = INT_MAX;int penalty = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){if (a > b) // a <= b{swap(a, b);}if (v[i] <= a){a = v[i];}else if (v[i] <= b){b = v[i];}else{penalty++;a = v[i];}}cout << penalty << "\n";
}

证明

情况3我们可以比较两种决策，
决策1:插入A
决策2:插入B

决策2的收益来的比较短，比如下面这种场景
$A:[3]$
$B:[8]$
$X[i]=5$

$A:[3]$
$B:[8,5]$

如果我们下一个数字$X[i+1]$为7，就得到1点负面收益
$A:[3,7]$
$B:[8,5]$

---

决策1的收益在与后期，比如：

$A:[3]$
$B:[8]$
$X[i]=5$

$A:[3,5]$
$B:[8]$

如果我们下一个数字$X[i+1]$为7，那么我们决策1就会得到收益
$A:[3,5]$
$B:[8,7]$

但是如果我们下个数字大于8, 或者小于等于5，我们决策2和决策1会等价，并且决策2会少一点penalty。

比较上面情况, 决策2全方面的大于决策1

证毕

其实可以通过直觉得到结论，因为如果保留$B_l$，添加到$A$里，由于每个数字都只受相邻影响，所以$B_l$的收最多就1。