改进爬山算法之四：概率爬山法（Probabilistic Hill Climbing，PHC）

        概率爬山法（Probabilistic Hill Climbing，PHC）是一种局部搜索算法，它结合了随机性和贪婪搜索的特点，是对爬山算法（Hill Climbing Algorithm）的一种变体或扩展。与传统的爬山法不同，PHC不是总是选择最优的邻居作为下一步的移动，而是以一定的概率选择最优邻居，同时以一定的概率接受非最优或甚至更差的邻居。这种方法有助于算法跳出局部最优解，增加找到全局最优解的可能性。

一、爬山算法基础

定义：爬山算法是一种局部搜索算法，常用于解决优化问题。它模拟了登山者寻找山峰的过程，通过逐步改进当前的解决方案，以期达到一个局部最优解。

核心思想：从当前解出发，通过与相邻解的比较来寻找更优解。每次迭代中，算法会探索当前解的周围区域，寻找能够带来改进的潜在解，并更新当前解为最优的候选解。

应用场景：爬山算法广泛应用于数学建模、机器学习中的参数调优、运筹学中的路径规划、生物信息学中的蛋白质结构预测等领域。

前面说过的几种爬山法变体在选择下一步时的区别：

（1）爬山算法（Hill Climbing Algorithm，HCA）是在邻域内搜索最优解作为下一步方向；

（2）随机化爬山法（Stochastic Hill Climbing）是随机选择下一个移动的邻近解作为下一步方向；

（3）首次爬山法（First-Choice Hill Climbing）是选择第一个比当前解好的解作为下一步方向；

（4）最陡上升爬山法（Steepest-Ascent Hill Climbing）是邻域内搜索使目标函数值增长最快的解作为下一步方向。

二、基本原理

概率爬山法的核心思想是在每一步都以一定的概率接受更优的邻居，同时以一定的概率接受非最优的邻居。这种随机性可以帮助算法逃离局部最优解，探索更广泛的搜索空间。

（1）随机性引入：在爬山算法的搜索过程中，通过引入随机因素来增加算法的多样性，从而有可能跳出局部最优解。这类似于随机重启爬山算法（Stochastic Hill Climbing），在搜索过程中以一定的概率重新选择起始点或接受较差的解。

（2）概率选择：在比较当前解与邻居解时，不是简单地选择最优解，而是根据一定的概率分布来选择解。例如，可以设置一个温度参数，根据当前解与邻居解的差异和温度参数来决定接受邻居解的概率。这种方法类似于模拟退火算法（Simulated Annealing），它结合了概率机制和温度下降策略来探索解空间。

三、算法步骤

（1）初始化：在搜索空间中随机选择一个初始状态。

（2）选择邻居：从当前状态选择一组邻居。

（3）评估邻居：计算每个邻居的状态值（或目标函数值）。

（4）选择下一步：以一定的概率p选择最优邻居作为下一步的移动，或者以1−p的概率随机选择一个邻居（包括当前状态）。

（5）更新状态：将选择的邻居作为新的状态。

（6）检查停止条件：如果达到最大迭代次数或满足其他停止条件，则停止算法；否则，返回步骤2。

图1 概率爬山法流程图

四、概率爬山法的数学公式

（1）初始化解：设初始解为，通常是在解空间内随机选择的。其中表示从解空间中均匀随机选择一个解。

（2）邻域解生成：对于当前解，生成一个或多个邻域解