FIR数字滤波器设计——窗函数设计法——滤波器的时域截断

与IIR数字滤波器的设计类似，设计FIR数字滤波器也需要事先给出理想滤波器频率响应$H_{\text{ideal}}(e^{j\omega })$，用实际的频率响应$H(e^{j\omega })$去逼近$H_{\text{ideal}}(e^{j\omega })$，在此以低通FIR数字滤波器为例介绍窗函数设计法。

线性相位的理想低通FIR数字滤波器频率响应为
$$H_{\text{ideal}}(e^{j\omega })=\{\begin{array}{ll}{e}^{-j\omega \tau },& 0⩽|\omega |⩽{\omega }_c\\ 0,& {\omega }_c<|\omega |⩽\pi \end{array}$$

其中，${\omega }_c$为截止频率，幅度函数为
$$H_{\text{ideal}}(\omega )=\{\begin{array}{ll}1,& 0⩽|\omega |⩽{\omega }_c\\ 0,& {\omega }_c<|\omega |⩽\pi \end{array}$$

对应的滤波器单位脉冲响应$h_{\text{ideal}}(n)$为

$$h_{\text{ideal}}(n)=\text{IDTFT}\left[H_{\text{ideal}}(e^{j\omega })\right]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-{\omega }_c}^{{\omega }_c}{e}^{-j\omega \tau }{e}^{j\omega n}d\omega =\frac{\sin [{\omega }_c(n-\tau )]}{\pi (n-\tau )}$$

可以看出，$h_{\text{ideal}}(n)$为偶对称序列，对称中心为$n=\tau$。

但$h_{\text{ideal}}(n)$也是一个无限长的非因果序列，这在计算机或 DSP 中是无法实现的。简便的办法就是对$h_{\text{ideal}}(n)$进行截断，也就是用一个有限时长的窗函数$w(n)$与$h_{\text{ideal}}(n)$相乘。设窗函数长度为$N$，则在时域截断后的滤波器单位脉冲响应$h(n)$为

$$h(n)=h_{\text{ideal}}(n)\cdot w(n)$$

其中，窗函数长度和形状是两个非常重要的设计参数。

为保证$h(n)$为因果序列，时域截断时取$n=\tau$为对称中心，并且设$\tau =\frac{N-1}{2}$。这种截断方式就好比用一个$N$点矩形窗$R_N(n)$与$h_{\text{ideal}}(n)$相乘，即

$$h(n)=h_{\text{ideal}}(n)\cdot R_N(n)=\{\begin{array}{ll}{h}_{\text{ideal}}(n),& 0⩽n⩽N-1\\ 0,& \text{其他 }n\end{array}$$

由频域卷积定理可知，时域相乘对应频域卷积，故实际滤波器的频率响应为

$$H(e^{j\omega })=\text{DTFT}\left[h_{\text{ideal}}(n)\cdot w(n)\right]=\frac{1}{2\pi }\left[H_{\text{ideal}}(e^{j\omega })\ast W_N(e^{j\omega })\right]$$

$N$点矩形窗$R_N(n)$的 DTFT 结果为

$$W_N(e^{j\omega })=\text{DTFT}\left[R_N(n)\right]=e^{-j\frac{N-1}{2}\omega }\frac{\sin (\omega N/2)}{\sin (\omega /2)}$$

$N$点矩形窗也是严格线性相位的 FIR 数字滤波器，其幅度函数为

$$W_N(\omega )=\frac{\sin (\omega N/2)}{\sin (\omega /2)}$$

由 DTFT 的时移特性可知，相位函数只会对$h(n)$起时移作用，因此$H(e^{j\omega })$的幅度函数只取决于理想低通的幅度函数$H_{\text{ideal}}(\omega )$和矩形窗的幅度函数$W_N(\omega )$，即

$$H(\omega )=\frac{1}{2\pi }\left[H_{\text{ideal}}(\omega )\ast W_N(\omega )\right]$$

理想低通滤波器的通带幅度为 1，阻带幅度为 0，但实际的低通滤波器在通带和阻带都出现起伏振荡的现象，在其过渡带的边缘出现了正、负肩峰，即极大值和极小值。正肩峰出现在窗函数主瓣刚刚全部进入理想低通滤波器$\left(\omega =-{\omega }_c+\frac{2\pi }{N}\right)$，以及窗函数主瓣即将移出理想低通滤波器$\left(\omega ={\omega }_c-\frac{2\pi }{N}\right)$的时候。负肩峰表示卷积结果的极小值，负肩峰出现在窗函数主瓣即将进入理想低通滤波器$\left(\omega =-{\omega }_c-\frac{2\pi }{N}\right)$，以及窗函数主瓣刚刚全部移出理想低通滤波器$\left(\omega ={\omega }_c+\frac{2\pi }{N}\right)$的时候。

只要确保$h(n)$为偶对称或奇对称的，就可以不再“操心”线性相位的需求，“专心”考虑FIR数字滤波器的幅度指标即可。

实际滤波器幅频响应起伏振荡的幅度取决于窗函数旁瓣的相对幅度，而起伏振荡的次数取决于窗函数旁瓣的数量。增加窗函数的长度（不改变窗函数的形状），过渡带的宽度变窄，振荡起伏变密，但是滤波器肩峰的相对值（相对于1或者0）保持8.95%不变，这种现象称作“吉布斯(Gibbs)效应”。

我们知道信号的时域截断会引起频谱泄漏。窗函数法也是在时域进行截断，出现的“过渡带”“吉布斯效应”等其实都是频谱泄漏在FIR数字滤波器设计中的体现。只不过信号的时域截断引起的频谱泄漏主要是分析信号的频谱，这里的频谱泄露主要是分析系统（滤波器）的频谱。

这里只介绍利用窗函数法设计低通FIR数字滤波器，如果要设计其他类型的FIR数字滤波器，只需要采用对应的理想滤波器频率响应即可，在此不再进一步讨论。