【线性代数】行列式的性质

行列式性质定理讲义

一、行列式的基本性质

性质 1：行列互换

对于任意一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，其行列式 $|A|$ 满足：
$$|A|=|A^T|$$
其中，$A^T$ 是 $A$ 的转置矩阵。

性质 2：行列式乘积

对于任意两个 $n\times n$ 的方阵 $A$ 和 $B$，有：
$$|AB|=|A|\cdot |B|$$

性质 3：行列式与数乘

对于任意一个 $n\times n$ 的方阵 $A$ 和任意标量 $\alpha$，有：
$$|\alpha A|={\alpha }^n|A|$$

性质 4：行列式线性性

对于任意一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，如果将 $A$ 的某一行（或列）表示为两个向量之和，则有：
$$|A|=|A_1|+|A_2|$$
其中，$A_1$ 和 $A_2$ 分别是由 $A$ 的该行（或列）的两个向量分量构成的方阵，而剩下的元素与A相同。

二、行列式的拉普拉斯展开

代数余子式（Algebraic Complement）是行列式理论中的一个重要概念，它与矩阵中的一个元素及其所在的行和列有关。以下是代数余子式的数学定义：
对于一个给定的 $n\times n$ 方阵 $A=[a_{ij}]$，元素 $a_{ij}$ 的代数余子式记为 $C_{ij}$，定义为删除了第 $i$ 行和第 $j$ 列的方阵（即 $a_{ij}$ 所在的行和列）后剩下的 $(n-1)\times (n-1)$ 子矩阵的行列式，再乘以 $(-1{)}^{i+j}$。
用数学公式表示，代数余子式 $C_{ij}$ 定义为：
$$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot \text{det}(M_{ij})$$
其中，$\text{det}(M_{ij})$ 是由删除了 $A$ 中第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n-1)\times (n-1)$ 子矩阵 $M_{ij}$ 的行列式。
具体来说，如果 $A$ 是以下形式的方阵：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$
那么 $a_{ij}$ 的代数余子式 $C_{ij}$ 是：
$$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot \left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2,j-1}& a_{2,j+1}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i-1,1}& \cdots & a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}& \cdots & a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
代数余子式在行列式的计算和矩阵的理论研究中扮演着重要角色，尤其是在使用拉普拉斯展开定理计算行列式时。

定理 1：拉普拉斯展开

对于任意一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，选择任意一行（或列），如第 $i$ 行，行列式 $|A|$ 可以按照该行展开为：
$$|A|=(-1{)}^{i+1}{a}_{i1}{C}_{i1}+(-1{)}^{i+2}{a}_{i2}{C}_{i2}+a_{i3}{C}_{i3}+\cdots +(-1{)}^{i+n}{a}_{in}{C}_{in}$$
其中，$C_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。

三、行列式的特殊性质

定理 2：行列式为零的充分必要条件

一个 $n\times n$ 的方阵 $A$ 的行列式为零的充分必要条件是 $A$ 的秩小于 $n$。

定理 3：方阵可逆的充分必要条件

一个 $n\times n$ 的方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A|\ne 0$。

定理 4：克莱姆法则

克拉默法则（Cramer’s Rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一个使用行列式来解线性方程组的方法。克拉默法则适用于具有相同数量的方程和未知数的线性方程组，并且系数矩阵的行列式不为零的情况。

克拉默法则的数学表述

设有以下线性方程组：
$$\begin{gathered} a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1 \\ {a}_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2 \\ ⋮ \\ {a}_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n \end{gathered}$$
其中，$x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是未知数，$a_{ij}$ 是系数，$b_1,b_2,\dots ,b_n$ 是常数项。
如果系数矩阵 $A=[a_{ij}]$ 的行列式 $\text{det}(A)\ne 0$，则方程组有唯一解，并且每个未知数 $x_i$ 可以用以下公式计算：
$$x_i=\frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)}$$
其中，$A_i$ 是将系数矩阵 $A$ 中第 $i$ 列替换为常数项向量 $[b_1,b_2,\dots ,b_n{]}^T$ 后得到的矩阵。

克拉默法则的步骤

1. 计算系数矩阵 $A$ 的行列式 $\text{det}(A)$。
2. 对于每个未知数 $x_i$，构造矩阵 $A_i$，即将 $A$ 的第 $i$ 列替换为常数项向量。
3. 计算矩阵 $A_i$ 的行列式 $\text{det}(A_i)$。
4. 使用公式 $x_i=\frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)}$ 计算每个未知数 $x_i$。

示例

考虑以下线性方程组：
$$\begin{gathered} 2x+y=5 \\ -x+3y=2 \end{gathered}$$
我们可以使用克拉默法则来解这个方程组。

1. 系数矩阵 $A$ 和常数项向量 $B$：
   $$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]$$
2. 计算系数矩阵的行列式 $\text{det}(A)$：
   $$\text{det}(A)=2\cdot 3-(-1)\cdot 1=6+1=7$$
3. 构造矩阵 $A_1$ 和 $A_2$：
   $$A_1=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 2& 3\end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& 2\end{array}\right]$$
4. 计算行列式 $\text{det}(A_1)$ 和 $\text{det}(A_2)$：
   $$\begin{gathered} \text{det}(A_1)=5\cdot 3-2\cdot 1=15-2=13 \\ \text{det}(A_2)=2\cdot 2-(-1)\cdot 5=4+5=9 \end{gathered}$$
5. 使用克拉默法则计算 $x$ 和 $y$：
   $$\begin{gathered} x=\frac{\text{det}(A_1)}{\text{det}(A)}=\frac{13}{7} \\ y=\frac{\text{det}(A_2)}{\text{det}(A)}=\frac{9}{7} \end{gathered}$$
   因此，方程组的解为 $x=\frac{13}{7}$ 和 $y=\frac{9}{7}$。

注意事项

克拉默法则虽然提供了一个解线性方程组的直接方法，但它并不总是最有效的方法，尤其是当方程组的未知数较多时，计算行列式会变得非常复杂。此外，如果系数矩阵的行列式为零，则克拉默法则不适用，此时方程组可能无解或有无限多解。