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高等数学学习笔记 ☞ 定积分与积分公式

news 2025/6/26 20:26:11

1. 定积分的基本概念

1.1 定积分的定义

1. 定义：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有界。在闭区间 $[a,b]$ 上任意插入若干个分点，即 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n-1}<x_{n}=b$ ，

此时每个小区间的长度记作 $\Delta x_{i}$ (不一定是等分的)。然后在每个小区间上任意取 $\xi_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ ，对应的函数值为 $f(\xi _{i})$ 。

为保证每段 $f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 的值(即矩形面积)无限接近于函数 $f(x)$ 与该区间段所围成的面积，设 $\lambda =\max(\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n})$ 。

若 $\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 存在，且该极限与小区间的分法和 $\xi_{i}$ 的取法无关，那么称 $\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 为函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$

上的定积分，记作 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 。

其中： $[a,b]$ ：积分区间。 $a$ ：积分下限。 $b$ ：积分上限。其中积分下限与积分上限无大小关系。

$f(x)$ ：被积函数，表明对哪个函数求定积分。 $x$ ：积分变量，表明对哪个变量求定积分。 $f(x)dx$ ：被积式。

说明：定积分与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么符号表示无关。

2. 可积条件：

（1）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积。

（2）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有界，当只有有限个间断点时，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积。

3. 几何意义：

（1）如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上恒有 $f(x)\geq0$ ，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的定积分就是函数 $f(x)$ 的图像与闭区间 $[a,b]$

所围成的面积。

（2）如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上恒有 $f(x)\leq 0$ ，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的定积分就是函数 $f(x)$ 的图像与闭区间 $[a,b]$

所围成的面积的相反数。

（3）如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上，当 $x\in [a,c]$ 时， $f(x)\geq0$ ，当 $x\in [c,b]$ 时， $f(x)\leq 0$ ，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上

的定积分为： $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx=S_{1}-S_{2}$ 。

说明：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的定积分的值为零，那么函数 $f(x)$ 的图像与闭区间 $[a,b]$ 所围成的面积不一定为零。

1.2 定积分的性质

（1） $\int_{a}^{a}f(x)dx=0$ 。

（2） $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$ 。

（3）若 $\alpha ,\beta$ 为常数，则 $\int_{a}^{b}(\alpha f(x)\pm \beta g(x))dx=\alpha\int_{a}^{b} f(x)dx\pm \beta\int_{a}^{b} g(x)dx$ 。

（4）若 $a<c<b$ ，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$ 。

备注：当 $c\notin [a,b]$ 时，上式也是成立的，但前提条件是函数 $f(x)$ 在对应闭区间上有界且只有有限个间断点。

（5）在闭区间 $[a,b]$ 上， $f(x)\equiv C$ ，则 $\int_{a}^{b}Cdx=C(b-a)$ 。

（6）在闭区间 $[a,b]$ 上， $a<b$ ， $f(x)\geq 0$ ，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx\geq 0$ 。

（7）在闭区间 $[a,b]$ 上， $a<b$ ， $f(x)\leq g(x)$ ，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx$ 。

（8）在闭区间 $[a,b]$ 上， $a<b$ ，则 $|\int_{a}^{b}f(x)dx|\leq \int_{a}^{b}|f(x)|dx$ 。

备注：证明出发点：①： $-|A|\leq A\leq |A|$ ，同时取定积分；②： $-N\leq M\leq N(N>0)\Rightarrow |M|\leq N$ 。

（9）设 $m,M$ 是函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的最小值和最大值，则 $m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$ 。

备注：证明出发点： $m\leq f(x)\leq M$ ，同时取定积分。

（10）积分中值定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续的，则至少存在一点 $\xi \in[a,b]$ ，使得 $\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$ 。

证明：因为函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续的，则函数 $f(x)$ 一定存在最大值M与最小值m，即：

$m\leq f(x)\leq M$

对上式两边同时取定积分： $\int_{a}^{b}mdx\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}Mdx$ 。

因为 $a\neq b$ ，则上式可表达为： $m\leq \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}\leq M$ 。

因为函数 $f(x)$ 是连续的，根据介值定理可知：在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi )=C$ ，其中 $m\leq C\leq M$ 。

所以： $f(\xi )=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$ 。

备注：上式中 $f(\xi )$ 的值称为函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的平均值。