动态规划——路径问题②

931. 下降路径最小和

题目链接：931. 下降路径最小和

算法原理

• 状态表示：
  经验+题目要求：dp[i][j]表示到达[i,j]位置时，最小的下降路径

• 状态转移转移方程：
  根据最近的一步划分问题
  

• 初始化：
  状态转移方程会用到左中右三个位置，所以我们可以往外扩一圈，这样就不需要担心越界的问题
  

  这因为是最小值加上当前值，所以第一行全部设置为0不会影响元素表格第一行初始化
  
  然后其他的设置为+∞即可，不会影响结果
  

• **填表顺序：**从上往下

• **返回值：**最后一行最小值

代码实现

class Solution {
public:int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix){int n = matrix.size();vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(n+2, INT_MAX));//初始化for(int j = 0; j < n+2; j++)    dp[0][j] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= n; j++){dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], min(dp[i-1][j], dp[i-1][j+1])) + matrix[i-1][j-1];}} int ret = INT_MAX;for(int j = 1; j <= n; j++){ret = min(ret, dp[n][j]);}return ret;}
};

64. 最小路径和

题目链接：64. 最小路径和

算法原理

感觉和上一篇文章的题目一样，只不过加了个选择最小的，直接看代码吧

代码实现

class Solution {
public:int minPathSum(vector<vector<int>>& grid){int m = grid.size();int n = grid[0].size();vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, INT_MAX));//初始化dp[0][1] = dp[1][0] = 0;for(int i = 1; i <=m; i++){for(int j = 1; j <= n; j++){dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];}}    return dp[m][n];}
};

174. 地下城游戏

题目链接：174. 地下城游戏

算法原理

有点像小时候玩的按键设计的魔塔游戏。

• **状态表示：**这里就不是以某个位置为结尾的xxx了，因为这个状态不仅受到前面的影响，还受到后面的影响。

  所以用以某个位置为起点的xxx，dp[i][j]表示从[i, j]位置出发，到达终点所需的最低初始健康点数

• 状态转移方程：
  假设以[i,j]位置为起点，走到终点，它可以往下或者往右走
  
  假设此时dp[i][j]为x，要走到下一步，最起码要大于或等于下个位置的最低血量

  
  然后两种情况取较小的即可

  

  Tips：
  此时[i, j]位置可能是一个加血包，如果太大，就会是负数了，这样就符合逻辑，所以还需要比较一下

代码实现

class Solution {
public:int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon){int m = dungeon.size();int n = dungeon[0].size();vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, INT_MAX));dp[m][n-1] = dp[m-1][n] = 1;for(int i = m-1; i >= 0; i--){for(int j = n-1; j >= 0; j--){dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) - dungeon[i][j];dp[i][j] = max(1, dp[i][j]);}}    return dp[0][0];}
};