平方数列与立方数列求和的数学推导

先上结论：

平方数列求和公式为：$S_2(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

立方数列求和公式为：$S_3(n)={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$

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1 平方数列求和

如 $1^2,2^2,3^2,\dots ,n^2$ 的数列。计算前 $n$ 项和：
$$S_2(n)=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2$$

1.1 多项式拟合

假设 $S_2(n)$ 是一个三次多项式（因为平方数列的增长速度为三次，为什么？看这篇为什么平方数列求和是三次多项式？）：
$$S_2(n)=A{n}^3+B{n}^2+Cn+D$$

• 当 $n=1$ 时，$S_2(1)=1^2=1$
  $$A+B+C+D=1$$

• 当 $n=2$ 时，$S_2(2)=1^2+2^2=5$
  $$8A+4B+2C+D=5$$

• 当 $n=3$ 时，$S_2(3)=1^2+2^2+3^2=14$
  $$27A+9B+3C+D=14$$

• 当 $n=4$ 时，$S_2(4)=1^2+2^2+3^2+4^2=30$
  $$64A+16B+4C+D=30$$

通过解联立方程上面四个方程，得到：
$$A=\frac{1}{3},B=\frac{1}{2},C=\frac{1}{6},D=0$$

$$\therefore S_2(n)=\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n$$

化简一下：
$$S_2(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

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1.2数学归纳

$$S_2(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

第一步：当 $n=1$ 时，
$$S_2(1)=1^2=1,\frac{1(1+1)(2\cdot 1+1)}{6}=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=1$$
成立。

归纳假设：假设公式对 $n=k$ 成立，即：
$$S_2(k)=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$

归纳步骤：验证公式对 $n=k+1$ 是否成立：
$$S_2(k+1)=S_2(k)+(k+1{)}^2$$

代入归纳假设：
$$S_2(k+1)=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1{)}^2$$

提取公因式 $(k+1)$：
$$S_2(k+1)=\frac{(k+1)\left[k(2k+1)+6(k+1)\right]}{6}$$

化简：
$$k(2k+1)+6(k+1)=2k^2+k+6k+6=2k^2+7k+6$$

分解因式：
$$2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)$$

因此：
$$S_2(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$$

公式对 $n=k+1$ 也成立，所以归纳合理。

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2 立方数列求和

如 $1^3,2^3,3^3,\dots ,n^3$ 的数列。计算前 $n$ 项和：
$$S_3(n)=1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3$$

2.1 等差数列性质

有以下恒等式：
$$k^3={\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)}^2-{\left(\frac{(k-1)k}{2}\right)}^2$$

将上式累加从 $k=1$ 到 $k=n$：
$$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2-{\left(\frac{0\cdot 1}{2}\right)}^2$$

右边第二项为零，因此：
$$S_3(n)={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$$

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2.2 数学归纳

$$S_3(n)={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$$

第一步：当 $n=1$ 时，
$$S_3(1)=1^3=1,{\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)}^2={\left(\frac{2}{2}\right)}^2=1$$
成立。

归纳假设：假设公式对 $n=k$ 成立，即：
$$S_3(k)={\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)}^2$$

归纳步骤：验证公式对 $n=k+1$ 是否成立：
$$S_3(k+1)=S_3(k)+(k+1{)}^3$$

代入归纳假设：
$$S_3(k+1)={\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)}^2+(k+1{)}^3$$

提取公因式 $(k+1{)}^2$：
$$S_3(k+1)={\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)}^2+(k+1{)}^2(k+1)$$

化简：
$${\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)}^2+(k+1{)}^3={\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)}^2+{\left(\frac{2(k+1)}{2}\right)}^3$$

合并为平方形式：
$$S_3(k+1)={\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)}^2$$

对 $n=k+1$ 的成立，归纳合理。