3×2 MIMO系统和2×2 MIMO系统对比

从 SVD（奇异值分解）预编码 的角度分析，3×2 MIMO 系统相比 2×2 MIMO 系统在容量、功率分配灵活性和抗干扰能力方面具有潜在优势。以下是具体分析：

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1. SVD预编码的基本原理

SVD 预编码是一种基于信道状态信息（CSI）的 MIMO 技术，通过对信道矩阵进行奇异值分解，将 MIMO 信道分解为多个并行的独立子信道（称为奇异值通道）。具体步骤为：

1. 信道矩阵分解：
   假设信道矩阵为$\mathbf{H}$，其 SVD 分解为：
   $$\mathbf{H}=\mathbf{U\Sigma }{\mathbf{V}}^H$$
   其中：
   -$\mathbf{U}$和$\mathbf{V}$是酉矩阵（正交矩阵）。
   -$\mathbf{\Sigma }$是对角矩阵，对角线元素为奇异值${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \cdots \ge {\sigma }_r$，其中$r=\text{rank}(\mathbf{H})$。

2. 预编码与后编码：

   • 发射端：使用$\mathbf{V}$作为预编码矩阵，将信号投影到信道的最优方向。
   • 接收端：使用${\mathbf{U}}^H$作为后编码矩阵，恢复原始信号。

3. 等效信道模型：
   经过预编码和后编码后，等效信道变为$\mathbf{\Sigma }$，即：
   $$\mathbf{y}=\mathbf{\Sigma x}+\mathbf{n}$$
   其中每个子信道的增益为奇异值${\sigma }_i$，且相互独立。

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2. 3×2 MIMO 与 2×2 MIMO 的关键差异

(1) 信道矩阵的秩（Rank）

• 2×2 MIMO：信道矩阵的最大秩为$r=\min (2,2)=2$，即最多支持 2 个独立子信道。

• 3×2 MIMO：信道矩阵的最大秩为$r=\min (3,2)=2$，同样支持 2 个独立子信道。

  结论：两者的最大子信道数相同，但 3×2 MIMO 的发射天线更多，为优化功率分配提供了更高的自由度。

(2) 奇异值分布

• 2×2 MIMO：两个奇异值${\sigma }_1,{\sigma }_2$。
• 3×2 MIMO：两个奇异值${\sigma }_1,{\sigma }_2$，但由于发射天线更多，奇异值的分布可能更优：
  • 发射天线增加会提升信道矩阵的条件数（即${\sigma }_1/{\sigma }_2$可能更小），减少子信道之间的增益差异。
  • 更多的发射天线可以通过预编码矩阵$\mathbf{V}$更好地“对齐”信道方向，提升有效增益。

(3) 功率分配的灵活性

在 SVD 预编码中，发射功率可以通过 注水算法（Water-filling） 分配到各个子信道。对于 3×2 MIMO：

• 发射天线更多，预编码矩阵$\mathbf{V}\in {\mathbb{C}}^{3\times 3}$的维度更高，可以在 三维空间 中优化信号方向。
• 即使仅使用 2 个子信道，额外的自由度可以更灵活地抑制干扰或增强主信道的增益。

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3. 3×2 MIMO 的优势

(1) 更高的容量潜力

MIMO 系统的容量由下式决定：
$$C=\sum _{i=1}^r{\log }_2\left(1+\frac{P_i{\sigma }_i^2}{N_0}\right)$$
其中$P_i$是分配到第$i$个子信道的功率。

• 3×2 MIMO 的发射天线更多，可能通过优化功率分配（注水算法）在相同总功率下获得更高的容量。
• 例如，在信道条件较好时，可以将更多功率分配到主信道（对应${\sigma }_1$），提升整体容量。

(2) 波束成形增益

额外的发射天线（3Tx vs 2Tx）允许更精确的波束成形：

• 预编码矩阵$\mathbf{V}$的维度更高（3×3 vs 2×2），可以更精确地匹配信道的主方向。
• 在低信噪比（SNR）场景下，波束成形增益对性能提升更显著。

(3) 抗干扰能力

• 3×2 MIMO 的预编码矩阵有更多自由度来抑制干扰（例如，通过零陷技术）。
• 在存在多用户干扰或噪声时，3×2 系统可能表现出更好的鲁棒性。

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4. 仿真对比示例

假设两种系统在瑞利衰落信道下使用 SVD 预编码和注水算法：

• 3×2 MIMO：

  • 信道矩阵$\mathbf{H}\in {\mathbb{C}}^{2\times 3}$，秩为 2。
  • 预编码矩阵$\mathbf{V}\in {\mathbb{C}}^{3\times 3}$，可优化三维空间中的信号方向。

• 2×2 MIMO：

  • 信道矩阵$\mathbf{H}\in {\mathbb{C}}^{2\times 2}$，秩为 2。
  • 预编码矩阵$\mathbf{V}\in {\mathbb{C}}^{2\times 2}$。

结果：

• 容量：3×2 MIMO 的容量可能更高（尤其在低信噪比时）。
• 误码率：3×2 MIMO 的误码率更低（因波束成形增益和更优的功率分配）。

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5. 总结

从 SVD 预编码的角度看，3×2 MIMO 相比 2×2 MIMO 的优势主要体现在：

1. 更高的自由度：通过更多发射天线优化信号方向和功率分配。
2. 更强的波束成形能力：提升主信道的有效增益。
3. 更优的抗干扰性能：利用额外自由度抑制干扰。

尽管两者的最大子信道数相同（均为 2），但 3×2 MIMO 在灵活性和性能潜力上更优，尤其是在信道条件复杂或需要高可靠性的场景中。

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值得注意的是，在3×2 MIMO系统中，仅选择V的前两列作为预编码矩阵，第三根天线是否被浪费需结合具体场景分析：

1. 物理层面的"浪费"

   • 信道矩阵H的秩为2，SVD分解后仅前两列V对应有效信道空间，第三列属于零空间（无法传输能量）。
   • 此时第三根天线未参与有效信号传输，物理上确实存在未被利用的情况。

2. 实际优化手段

   • 动态天线选择（参考第二篇论文）：系统可通过算法周期性地选择最优的两根发射天线，关闭第三根以降低干扰和功耗。
   • 功率重分配：零空间对应的天线可通过功率控制关闭（如注水算法中分配功率为0），避免能量浪费。
   • 多用户复用：在多用户场景下，第三根天线可服务其他用户（如MU-MIMO），实现空间资源复用。

3. 性能权衡

   • 若强制使用第三根天线，需扩展为3×3系统（需增加接收天线），否则会导致信道间干扰。
   • 在有限反馈系统中（参考第一篇论文），保留第三根天线可作为冗余，提高信道估计鲁棒性。

场景	第三天线状态	资源利用率
单用户传输	关闭或零功率	物理层部分闲置，但避免干扰
多用户协作(CoMP)	服务其他用户	空间复用提升系统容量
信道时变环境	作为备用天线	通过天线选择实现分集增益

结论：在单用户3×2场景下，第三根天线确实无法用于当前数据流传输，但通过天线选择、功率控制或多用户调度，可转化为系统级资源优化，而非绝对意义上的浪费。实际系统中常会保留冗余天线以应对信道变化和实现分集增益。

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3*2MIMO系统SVD预编码（MMSE检测）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# ================== 系统参数配置 ==================
Nt = 3  # 发射天线数
Nr = 2  # 接收天线数
Ns = 2  # 数据流数
num_symbols = 1000  # 总符号数
SNR_dB = 10  # 信噪比(dB)
np.random.seed(0)# ================== QPSK调制模块 ==================
def qpsk_mod(bits):bit_pairs = bits.reshape(-1, 2)symbols = 1 / np.sqrt(2) * (2 * bit_pairs[:, 0] - 1 + 1j * (2 * bit_pairs[:, 1] - 1))return symbols# ================== 信道生成模块 ==================
def generate_correlated_channel():# 天线相关矩阵corr_tx = np.array([[1, 0.3, 0.1],[0.3, 1, 0.2],[0.1, 0.2, 1]])corr_rx = np.array([[1, 0.5],[0.5, 1]])# 生成独立信道矩阵H_temp = np.random.randn(Nr, Nt) + 1j * np.random.randn(Nr, Nt)# Kronecker信道建模R = np.kron(corr_rx, corr_tx)H_vec = R @ H_temp.reshape(-1, 1)return np.sqrt(0.5) * H_vec.reshape(Nr, Nt)# ================== 预编码模块 ==================
def svd_precoding(H):U, S, Vh = np.linalg.svd(H)return Vh.conj().T[:, :Ns]# ================== 接收端检测模块 ==================
def mmse_detection(y, H, V, noise_var):H_eff = H @ VW = np.linalg.inv(H_eff.T.conj() @ H_eff + noise_var * np.eye(Ns)) @ H_eff.T.conj()return W @ y# ================== 主仿真流程 ==================
if __name__ == "__main__":# 生成随机比特流bits = np.random.randint(0, 2, 2 * num_symbols)# QPSK调制（维度调整为Ns x (num_symbols/2)）s = qpsk_mod(bits).reshape(Ns, -1)# 信道生成与预编码H = generate_correlated_channel()U, S, Vh = np.linalg.svd(H)V= Vh.conj().T[:, :Ns]# 预编码处理s_precoded = V @ s# 信道传输（添加噪声）noise_power = 10 ** (-SNR_dB / 10)noise = np.sqrt(noise_power / 2) * (np.random.randn(Nr, s.shape[1]) + 1j * np.random.randn(Nr, s.shape[1]))y = H @ s_precoded + noise# MMSE检测s_hat = mmse_detection(y, H, V, noise_power)# SVD解码# s_hat = np.dot(U.conj().T, y)  # 恢复符号# 信号解调s_hat = s_hat.reshape(-1)bits_hat = np.zeros_like(bits)bits_hat[::2] = (np.real(s_hat) > 0).astype(int)bits_hat[1::2] = (np.imag(s_hat) > 0).astype(int)# 性能评估ber = np.mean(bits != bits_hat)mse = np.mean(np.abs(s.reshape(-1) - s_hat) ** 2)print(f"BER: {ber}")print(f"MSE: {mse}")# ================== 可视化模块 ==================
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.subplot(121)
plt.scatter(np.real(s_hat), np.imag(s_hat), alpha=0.6)
plt.title('Receiving constellation chart')
plt.subplot(122)
plt.plot(np.abs(H.reshape(-1)), 'o-')
plt.title('Amplitude of the channel coefficient')
plt.tight_layout()
plt.show()