变分边界详解

起因

当时看VAE论文时有这么一段，但是看完直接一头雾水，这都那跟哪，第一个公式咋做的变换就变出那么一堆。网上搜了很多博客都语焉不详，只好自己来写一篇，希望能解答后来人的疑惑。

公式1

参考文章：证据下界（ELBO）、EM算法、变分推断、变分自编码器（VAE）和混合高斯模型（GMM）

解释一下，我们之前都是用MLE计算损失，$logp(x|\theta )$和$log{p}_{\theta }(x)$是一样的，数分和统计学写法习惯不同。第一种理解同上，可以结合VAE模型理解他的解释，这个解释比较抽象。
第二种理解是以信息论的角度，信息熵=$E[-log{p}_{\theta }(x)]$。信息熵越小，说明系统越稳定，不确定程度越低。
$L[\theta ]=argmi{n}_{\theta }E[-log{p}_{\theta }(x)]=argma{x}_{\theta }E[log{p}_{\theta }(x)]$
推导公式1：(引入一个隐变量z，z可以想象成VAE编码器计算出来的均值和方差的随机变量，对应分布q(z))
$log{p}_{\theta }(x)=log{p}_{\theta }(x,z)-log{p}_{\theta }(z|x)=log\frac{p_{\theta }(x,z)}{q(z)}-log\frac{p_{\theta }(z|x)}{q(z)}$
方程两边同时求期望：
具体推到过程看大佬的，白板机器学习

公式2

证明如下：
DK >= 0，所以可证公式2。
DK >= 0证明结果如下，写的不清楚请参考其他博客，证明很多，实在懒得敲了见谅。

公式3

计算结果如下，写的不清楚请参考其他博客，证明很多，实在懒得敲了见谅。