5.【线性代数】—— 转置，置换和向量空间

1. 置换矩阵

定义： 用于行互换的矩阵P。
之前进行A=LU分解时，可能存在该行主元为0，要进行行互换，即PA=LU
性质： $P^{-1}=P^T$，$P^{T}P=I$
例子：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]...$$

2. 转置矩阵

$${\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 3\\ 4& 1\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 3& 3& 1\end{array}\right]$$
$$(A^T{)}_{ij}=A_{ji}$$

3. 对称矩阵

定义：$A_{ij}=A_{ji}$
性质： 对称矩阵的转置不变性 $A^T=A$
推论： $R^{T}R$都是对称矩阵
$$(R^{T}R{)}^T=R^T(R^T{)}^T=R^{T}R$$

4. 向量空间

4.1 向量空间

记$R^2$为所有二维空间实数向量，组成的向量空间。
$R^n$为所有n维空间实数向量，组成的向量空间。
性质：

1. 所有数乘，加法都在子空间中
2. 包含零向量

4.2 子空间

定义：空间中的一部分，且满足性质1和性质2。
例子：
$R^2$的子空间包含

1. R^2 二维平面
2. 通过(0,0)点的直线
3. 零向量

其他：存在子空间P和L,$P\cup L$不是子空间，$P\cap L$是子空间