7.【线性代数】——求解Ax=0，主列和自由列

1. 消元、秩、特解

矩阵消元
$$\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]}}\stackrel{ro{w}_2-2ro{w}_1,ro{w}_3-3ro{w}_1}{\Rightarrow }\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 2& 2\\ 0& 0& \boxed{2}& 4\\ 0& 0& 2& 4\end{array}\right]\underset{行阶梯形式}{\overset{ro{w}_3-ro{w}_2}{\Rightarrow }}\underset{\text{[主列|自由列|主列|自由列|]}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 2& 2\\ 0& 0& \boxed{2}& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}}$$
其中，框住的数，为主元。

矩阵的秩 定义： 主元的个数

回代，得到方程组
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+2x_3+2x_4=0\\ 2x_3+4x_4=0\end{array}\Rightarrow x=c\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$$

特解

枚举每个自由变量，其值为1，其余自由变量为0，计算特解
当$x_2=1,x_4=0$ 进行回代，解出$x_1,x_3$
当$x_2=0,x_4=1$ 进行回代，解出$x_1,x_3$
特解的个数 = 自由变量的个数

零空间

特解的线性组合
$$x=c\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$$

2. 简化行阶梯形式 :主元上下都是0，主元简化为1

$$\underset{\text{[主列|自由列|主列|自由列|]}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 2& 2\\ 0& 0& \boxed{2}& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}}\stackrel{ro{w}_1-2ro{w}_2}{\Rightarrow }\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 0& -2\\ 0& 0& \boxed{2}& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\stackrel{ro{w}_2/2}{\Rightarrow }\underset{R_1}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 0& -2\\ 0& 0& \boxed{1}& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}}$$
主列构成的矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
自由列构成的矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 2\end{array}\right]$
那么$R_1$进行第二三列交换为$R$后，可以写成$\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]$
求解$Rx=0$，那么解为$N(R)=\left[\begin{array}{c}-F\\ I\end{array}\right]$，即 $N=\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& -2\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
那么$R_{1}x=0$的零空间，用矩阵表示为$N(R_1)=\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& 0\\ 0& -2\\ 0& 1\end{array}\right]$。（交换了$N(R)$的二三行）

矩阵进行行交换(左乘矩阵)，是不影响$Ax=0$的解，而进行列交换(右乘矩阵)是影响解的位置的。
列交换相当于 $(AE)(E^{-}1x)=0$