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机器学习3-聚类

news 2025/11/22 7:19:38

1 聚类解决的问题

知识发现，发现事物之间的潜在关系
异常值检测
特征提取数据压缩的例子
新闻自动分组、用户分群、图像分割、像素压缩等等

2 与监督学习比较

监督学习是需要给定X、Y，X为特征，Y为标签，选择模型，学习（目标函数最优化问题），生成模型，这个模型本质上是一组参数，

无监督机器学习的数据只有X，没有标签，只根据X的相似度来做一些事情，相似度的计算一般通过距离来度量。相似度高的聚类在一起，进而可以对数据降维

3 聚类算法

主流的聚类算法可以分为两类：划分聚类（Partitioning Clustering）和层次聚类（Hierarchical Clustering）。他们主要的区别是

划分聚类是一系列扁平的结构，它们之间没有任何显式的结构来表名彼此的关联性。常见算法有K-means、K-medoids、Gaussian Mixture Model（高斯混合模型）、Spectral Clustering（谱聚类）、Centroid-based Clustering等
层次聚类是具有层次结构的簇集合，因此能够输出比划分聚类输出的无结构簇集合提供更丰富的信息。层次聚类可以认为是嵌套的划分聚类，常见算法有Single-linkage、Complete-linkage、Connectivity-based Clustering等

4 相似度

X中的每一条数据都可以理解为多维空间中的一个点

相似度用点和点之间的距离衡量

欧氏距离

$O_p=\sqrt {(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)}$

$|x|=\sqrt{x^2+y^2}$
明可夫斯基距离

$d(X,Y)=\sqrt[p]{(x_1-y_1)^p+(x_2-y_2)^p+(x_3-y_3)^p+...+(x_p-y_p)^p}$
- p=1时，曼哈顿距离
- p=2时，欧氏距离
- p=无穷，切比雪夫距离，哪个纬度值最大就是哪个差值作为距离
余弦距离

$cos\theta=\frac{a \cdot b} {||a||||b||}$

$cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\times \sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

拓展：如何通过向量夹角理解不同“维度”？三角函数 sinx, cosx 的泰勒展开推导及两个巧妙应用_三角函数泰勒展开-CSDN博客

从图中很容易看出a/b/c之间的关系，将a^2+b2-c^2作为一个判定因子Δ，则Δ是a，b，c三个变量的函数。对于同样一个角，如果三角形边长过长，则Δ会变动很大，如果过小，则Δ会变动很小，也就是说没有归一化。为了消除边长的影响，需要除以2ab，保证Δ的范围在-1到+1之间

为什么要用Δ除以2ab ？
1. 根据三角形的公理：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出a+b>c>a-b
2. 那么c^{2的取值范围为(a+b)}2>c^2>(a-b)2，展开就是a^2+b2+2ab>c^2>a2+b^2- 2ab
3. 于是判定因子Δ=a^2+b2-c^2的范围在-2ab到2ab之间
4. 这样就把Δ规范到了-1到1之间
cosθ=(a^2+b2-c^2)/2ab

余弦距离在文本分类中使用很广，余弦距离通过评价文章相似度
1. 将文章分词
2. 将文章转变为词向量（TFIDF，逆文档频率，如果将文章分词通过one-hot编码，会产生稀疏的问题，而TFIDF很好的解决了这个问题）
3. 转换为词向量后，将文章映射到高维空间变为一个向量
4. 文章之间的向量的余弦距离代表文章之间的相似度

4.1 文本相似度

TF-IDF

TF：在给定文档中某个词出现的概率，即：在谋篇文章中某次出现的次数/谋篇文章的总次数。
DF：语料库中包含某词的总文章数
IDF：I 是inverse的意思，代表某词在语料库中的重要程度，为了减少经常用的词对于相似度的贡献，比如“的”，“是”这一类的词
TF-IDF: TF*IDF

4.2 数据相似度

Jaccard相似系数

主要用于计算符号度量或布尔值度量的个体间的相似度，个体的特征属性由符号度量或者布尔值表示无法衡量差异具体值的大小，只能获得“是否相同”这个结果，所以Jaccard系数只判断个体间共同具有的特征是否一致的问题

用于网页去重、文本相似度分析
Pearson相关系数

线性相关系数，对数据分布要求较高

理解pearson相关系数，首先要理解协方差（Covariance），协方差是反映两个随机变量相关程度的指标，如果一个变量跟随另一个变量同时变大或者变小，那么这两个变量的协方差就是正值，反之相反，公式：

pearson公式：

范围：-1 到 1

缺点：

1）与样本数量有关，如果n过小，很有可能出现接近1，n过大可能小于1；且显著性检测时采用t检验要求数据来自正态分布，样本过小可能导致要求不满足

2）从含义上看，如果出现X=（1，1, 1）向量，其标准差为0，分母为0所以无法计算pearson相关系数

应用：

1）求两样品的不同特征之间的相关系数，从而用于降维

2）根据相关度进行聚类

与余弦的联系：

pearson相关系数实际上是做了标准化的cos，pearson是余弦相似度在维度缺失情况下的一种改进如何理解皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）？

5 K-means聚类

5.1 基本思想

先给定K个划分，迭代样本与簇的隶属关系，每次都比之前一次好一些
迭代若干次后，就能得到比较好的结果

5.2 步骤

初始化：选择K个初始的簇中心（怎么选）
分配：逐个计算每个样本到中心的距离，将样本归属到距离最小的那个簇中心的簇中
更新：每个簇内部计算平均值，更新簇中心
迭代：重复步骤2和步骤3，知道满足停止条件，比如集群中心不再显著变化，或者达到设定的迭代次数

5.3 K-means特点

优点
- 简单，效果不错
缺点
- 对异常值敏感：计算距离时我们使用L2距离的平方。这样对离群点很敏感，会把中心点拉偏
- 对初始值敏感
- 对某些分布聚类效果不好

5.4 K-means的变种

K-medoids：针对K-means的缺点改进
- 计算新的簇中心的时候不再选择均值，而是选择中位数
- 抗噪能力得到加强
- 为避免平方计算对离群点的敏感，把平方变成绝对值
- 限制聚类中心点必须来自数据点
  - 求中心点的计算方法，由原来的直接计算重心，变成计算完重心后，在重心附近找一个数据点作为新的中心点
  - K-medoids重拟合步骤直接求平均的K-means要复杂一些
二分K-means
- K-means的损失函数，每个点到中心点位置的MSE
- 分别计算四个簇的MSE，会发现有两个簇的MSE很小，一个簇的MSE很大
- 选择合并簇中心点比较近，MSE很小的簇，切分簇中心离其他簇中心比较远，MSE比较大的簇，重新进行K-means聚类
K-means++
- 现在目前的模型基本使用的是K-means++
- K-means++改变初始中心点的位置
  - 目标：初始化簇中心点稍微远一些
  - 步骤：1）随机选择第一个中心点； 2）计算每个样本到第一个中心点的距离；3）将距离转化为概率；4）概率化选择

5.5 K-means的损失函数

K-means的理论基础是假设各簇之间符合同方差的高斯分布模型

通过最大似然估计得到K-means的迭代方法
这个函数是个非凸函数，根据初始值不同只能得到局部最优解

5.6 K的选择

K值的选择是执行K均值聚类时需要仔细考虑的问题，选择的不合适可能导致聚类结果不准确或不具有实际意义

5.6.1 肘部法（Elbow Method）

K=n的时候，损失函数为0

K=1的时候，损失函数=原始数据的方差

所以，K应选择一个最佳的拐点，肘部法

5.6.2 轮廓系数（Silhouette Coefficient）

轮廓系数结合了聚类的凝聚度（Cohesion）和分离度（Separation），用于评估聚类的结果：

簇内距离：同一簇内，其他点到某个点的距离的平局值
簇间距离：某个点到其他簇每个点的平均值

最终目的是为了使簇内部距离最小化，簇间距离最大化。所以SC越靠近1，说明b越大于a，即外部距离大，内部距离小，说明分类效果越好

然而，当我们根据不同的K计算出几个SC值差不多时，并不是盲目选更大的SC，如下面的例子：

n_clusters = 2 SC : 0.7049

n_clusters = 3，SC : 0.5882

n_clusters = 4，SC : 0.6505

n_clusters = 5，SC : 0.5637

n_clusters = 6，SC: 0.4504

每次聚类后，每个样本得到一个轮廓系数，当SC=1时，说明这个点与周围簇距离较远，结果非常好，当SC=0时，说明这个点可能处在两个簇的边界上，当值为负时，该点可能被误分

从上面结果来说，K取2和4其实都不错，但可以从下图看出，K取2的话，第0簇的宽度远宽于第1簇（也就是说黑色数量比绿色多太多），而K取4的话，每个簇其差别不大。所以选K=4更好

5.6.3 误差平方和（SSE）

误差平方和（The sum of squares due to error）:真实值和误差值的差的平方，再求整体和

例如：数据-0.2、0.4、-0.8、1.3、-0.7为真实值和误差值的差

SSE是松散度的衡量，所以SSE越小越好。随着聚类迭代，其值越来越小，知道最后区域稳定

5.6.4 CH系数（Calinski-Harabasz Index）

CH系数：类别内部数据的协方差越小越好，类别之间的协方差越大越好，这样的Calinski-Harabasz分数s会高，分数s高则聚类效果好。

其中，tr为矩阵的迹，Bk是类别之间的协方差矩阵，Wk是类别内部数据的协方差矩阵，m是训练集样本数量，k是类别数量

5.6.5 小结

SSE：误差平方和越小越好
肘部法：下降突然变缓时即认为是最佳K值
SC系数：取值为[-1, 1]，其值越大越好
CH系数：分数S高则聚类效果越好，CH需要达到的目的，用尽量少的类别聚类尽量多的样本，同时获取较好的聚类效果

6 Canopy聚类

Canopy聚类只进行一次划分聚类，是基于距离阈值进行的快速聚类算法，而这些阈值通常需要进行调整以得到满意的聚类结果。实际应用中适合K-means聚类结合使用，一般是先用Canopy聚类，将K值计算出来，然后用K-means进行迭代

Canopy聚类步骤：

设置超参数T1、T2 T1>T2
while D 非空：
1. 随机产生d属于D作为中心点
2. 计算所有点到d的距离
3. 所有距离<t1的点归属于d的中心点
4. 从D中删除d及距离小于t2的点

聚类效果：

7 层次聚类

    层次聚类（Hierarchical Clustering）是聚类算法的一种，通过计算不同类别的数据点间的相似度来创建一颗有层次的嵌套聚类树，在聚类树中，不同类别的原始数据点是树的最低层，树的顶层是一个聚类的根节点，创建聚类树有自上而下和自下而上分列两种方法。

7.1 层次聚类的步骤

假设有6个样本点（A/B/C/D/E/F），层次聚类步骤如下：

最开始假设每个样本点是一个簇，计算每个样本间的相似度（也就是距离），得到一个相似矩阵
寻找各个类之间的最近的两个类，即若B、C的相似度最高，合并簇B和C，现在变为A,BC,D,E,F
更新簇类间的相似矩阵，若BC和D相似度最高，归为一个簇类，则变为A,BCD,E,F
更新簇类间的相似矩阵，若簇类E和F的相似度最高，归为一类，则变为A,BCD,EF
重复第四步，簇类BCD和EF相似度最高，合并为一个簇，则变为A,BCDEF
最后合并A,BCDEF为一个簇类，结束

7.2 层次聚类算法分类

自顶向下

先上图

自顶乡下的层次聚类，最开始所有的对象均属于一个cluster，每次按一定的准则将某个cluster划分为多个cluster，如此往复，直至每个数据点均属于一个cluster
自底向上

自底向上，是将每个数据点看做一个簇，每次计算相似度，合并，如此循环下去，直至属于一个簇为止

7.3 层次聚类相关模型

7.3.1 Single-Linkage算法

此算法是构造一个棵二叉树，用叶节点代表数据，而二叉树的每一个内部节点代表一个聚类，这是一个自下而上的聚类。

7.3.2 Complete-Linkage算法

与Single-Linkage算法相似，Complete-Linkage的迭代思想是一样的，不同的是合并类时，Single-Linkage是用两个类中距离最小的两个点作为类之间的距离，而Complete-Linkage恰恰相反，用距离最远的两个数据点之间的距离作为两个类之间的距离

8 密度聚类

前面介绍了划分聚类和层次聚类算法，下面介绍密度聚类算法：DB-SCAN算法

DB-SCAN是一个基于密度的聚类。在聚类不规则形态的点，如果用K-means，效果不会很好。而通过DB-SCAN就可很好地把同一密度区域的点聚在一起

8.1 关键概念

核心对象（Core Object），也就是密度达到一定程度的点
- 若 xj 的∈ - 邻域至少包含 MinPts 个样本，即，则是一个核心对象
密度直达（directly-density-reachable），密度可达（directly-reachable）：核心对象之间可以是密度直达或密度可达
密度相连（density-connected）：所有密度可达的和点点就是构成密度相连
- 对xi和xj，若存在xk使得xi与xj，均由xk密度可达，则称xi和xj密度相连

8.2 算法伪代码

这个过程用直白的语言描述就是：

对于一个数据集，先规定最少点密度 MinPts 和半径范围。
先找出核心对象：如果在半径范围内点密度大于 MinPts，则这个点是核心对象。把所有的核心对象放到一个集合中。
从这个核心对象集合中，随机找一个核心对象，判断其它的数据点与它是否密度直达，如果是，则归入聚类簇中。
继续判断其它点与聚类簇中的点是否密度直达，直到把所有的点都检查完毕，这时候归入聚类簇中的所有点是一个密度聚类。