当前位置：首页 > news >正文

12.【线性代数】——图和网络

news 文章来源：https://blog.csdn.net/sda42342342423/article/details/146047768 2025/5/8 19:55:06

十二图和网络（线性代数的应用）

- 图 $graph=\{nodes, edges\}$
- 1.关联矩阵
- 2. $A$ 矩阵的零空间，求解 $A x = 0$ 电势
- 3. $A^T$ 矩阵的零空间，电流
- 总结电流图
- 结论

图 $graph=\{nodes, edges\}$

上图中，有4个节点（node），5条边(edge)，图上的各个数字为标号。

1.关联矩阵

$A=\underbrace{\begin{bmatrix} -1&1&0&0\\ 0&-1&1&0\\ -1&0&1&0\\ -1&0&0&1\\ 0&0&-1&1 \end{bmatrix}}_{[node1, node2,node3,node4]}$
每一行表示一条边，-1表示开始的节点，1表示结束的节点。第一行表示 $edge_1$ 。
$edge_1$ ， $edge_2$ 和 $edge_3$ 现象相关，存在回路（ $edge_1+edge_2=edge_3$ ）。

树：没有回路的图

把图看做是电流图。每一个节点表示电势。两个节点的电势差，形成电流。

2. $A$ 矩阵的零空间，求解 $A x = 0$ 电势

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2-x_1\\ x_3-x_2\\ x_3-x_1\\ x_4-x_1\\ x_4-x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$
解得：
$c\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$

$\#nodes - 1$

3. $A^T$ 矩阵的零空间，电流

$A^Ty=\begin{bmatrix} -1&0&-1&-1&0\\ 1&-1&0&0&0\\ 0&1&1&0&-1\\ 0&0&0&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4\\ y_5\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$
得出：
$\begin{cases} -y_1 -y_3 -y_4 =0 (合流=0) \\ y_1-y_2=0 (流入=流出) \\ y_2+y_3-y_5=0(流入=流出) \\ y_4+y_5=0 (合流=0) \end{cases}\xRightarrow{} y= c\begin{bmatrix} 1\\1\\-1\\0\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ -1\\1 \end{bmatrix} (两个基为图中的回路\#loop)$

KCL定律： a. 合流 = 0 b. 流入=流出

总结电流图

结论

树：没有回路的图
$dim(N(A^T)) = m - r$
$\#loop = \#edges - (\#nodes - 1)$

$\#nodes-\#edges +\#loop = 1$ （对所有图适用）