C++——动态规划
动态规划是一种解决复杂问题的算法思想。它通过将问题分解为更小的子问题,并利用子问题的解来构建原问题的解。动态规划通常用于优化问题,其中需要找到最优解或最大值/最小值。
动态规划的核心思想是存储并重复使用子问题的解,以避免重复计算。它通常使用一个表格或数组来保存子问题的解,称为动态规划表。
动态规划的解决过程一般包括以下几个步骤:
1、定义子问题:将原问题拆解为较小的子问题。
2、确定状态:找到描述子问题的状态变量,以便构建动态规划表。
3、确定状态转移方程:找到子问题之间的关系,以及如何利用子问题的解来构建原问题的解。
4、填充表格:按照状态转移方程,填充动态规划表。
5、求解原问题:根据填充好的表格,求解原问题的解。
以下是使用动态规划解决背包问题的C++示例代码:
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;// 背包问题的动态规划函数
int knapsack(int capacity, vector<int>& weights, vector<int>& values, int n) {// 创建一个二维数组来保存子问题的解vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(capacity + 1, 0));// 填充动态规划表for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= capacity; ++j) {// 当前物品重量大于背包容量,无法放入背包if (weights[i - 1] > j) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}// 可以选择放入或不放入背包,取较大值else {dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], values[i - 1] + dp[i - 1][j - weights[i - 1]]);}}}// 返回最优解return dp[n][capacity];
}int main() {int capacity = 10; // 背包容量vector<int> weights = {2, 3, 4, 5}; // 物品重量vector<int> values = {3, 4, 5, 6}; // 物品价值int n = weights.size(); // 物品数量int max_value = knapsack(capacity, weights, values, n);cout << "背包中物品的最大价值为: " << max_value << endl;return 0;
}
在上述示例中,我们通过创建一个二维数组dp来保存子问题的解,其中dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能达到的最大价值。
通过两层循环遍历物品和背包容量,根据当前物品的重量和价值以及之前的子问题解来更新dp数组。最终,dp[n][capacity]即为背包中物品的最大价值。
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